urmat

31

38. Найти закон распределения температуры внутри стержня длины l, лежащего на отрезке [0,l], если в начальный момент температура внутри стержня была распределена следующим образом:

где u0 = const.На концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен свободный.

39. Найти закон распределения температуры внутри стержня длины l, если в начальный момент температура внутри стержня во всех точках равнялась 0o, в левом конце поддерживается все время постоянная температура u1, а в правом − постоянная температура u2. Теплообмен свободный.

Определим температуру в каждой точке стержня в любой последующий момент времени t>0.

Ясно, что это частный случай задачи Коши, которая сводится к определению функции u(x,τ) , удовлетворяющей уравнению

∂u = ∂2u

(12.2)

∂τ ∂x2

( где τ = ckρ t ) и начальному условию (12.1).

С физической точки зрения эта задача аналогична рассмотренной в предыдущем параграфе с тем отличием, что здесь нет граничных условий. Ясно поэтому, что, разделяя переменные по методу Фурье можно представить решение уравнения

(12.1) в виде

32

В случае стержня конечной длины l мы определяли из граничных условий дискрет-

ное множество возможных значений параметра λ : λn = n πl , где каждому значе-

нию индекса п соответствуют некоторые коэффициенты An u Bn . Чем длиннее стержень, тем гуще множество значений λn (расстояние между λn и λn+1 равно

Общее решение получается из частных решений не суммированием, а интегрированием по параметру λ :

Отсюда видно, что задача свелась к разложению произвольной функции в интеграл Фурье, являющийся обобщением понятия ряда Фурье.

В теории интеграла Фурье доказывается, что любая непрерывная функция

Учитывая, что выражение в скобках есть косинус разности, приходим к иному выражению для интеграла Фурье:

33

Таким образом, если в качестве коэффициентов A(λ) u B(λ) в (12.5) выбрать соответственно A(λ) = fc (λ), B(λ) = fs (λ), то интеграл

Обозначив q :=ξ − x, можно внутренний интеграл свести к известному в математике определенному интегралу :

Заменяя обратно q через ξ − x и подставляя (12.11) в (12.10), получим окончательно:

Чтобы понять физический смысл полученного решения, допустим, что в начальный момент времени(τ = 0 ) температура бесконечного стержня была равна нулю всюду,

кроме окрестности точки x=0, где u = u0.

Рисунок 6.

Можно себе представить, что в момент τ = 0 элементу длины 2h стержня сообщили некоторое количество тепла Q0 = 2hcρu0 , которое вызвало повышение

34

температуры на этом участке до значения u0 .Следовательно, формула (12.12) при-

Будем теперь уменьшать h, устремляя его к нулю, считая количество тепла неизменным, т.е. введем понятие мгновенного точечного источника тепла мощности Q0 , помещенного в момент τ = 0 в точке x=0. При этом распределение температур

ство тепла, полученное стержнем к моменту времени t:

получаем, что Q(t) = cρ = Q0 = const, что согласуется с законом сохранения энергии.

Замечание. Решение u(x,t) можно выразить через интеграл вероятности .

35

13. Задача о равновесии электрических зарядов на поверхности проводника.

Рассмотрим стационарное электростатическое поле, созданное в пространстве некоторой системой электрических зарядов. Если заряды q1, q2 ,..., qn расположены

нии (поверхности, объема) до точки поля, обладающей потенциалом и. В этих формулах величины γ1,γ2 ,γ3 обозначают линейную, поверхностную или объемную

верхности S, объема V). В общем случае потенциал поля равен сумме потенциалов, созданных каждым из этих видов распределения зарядов в отдельности.

Допустим, что конечная область V пространства занята проводящей средой − проводником, т.е. средой, в которой заряды могут свободно передвигаться, а остальная часть пространства − диэлектриком, т.е. средой, в которой движение зарядов невозможно. В стационарном состоянии потенциал поля во всех точках области V, − включая ее границу, одинаков, так как иначе бы возникло движение электрических зарядов, стремящееся выровнять потенциал, и поле менялось бы. Отсюда непосредственно очевидно, что в области V потенциал поля и удовлетворяет уравнению Лапласа: u = 0 ( u = div grad u) . Внутри проводника заряды разных знаков

должны быть взаимно нейтрализованы. Следовательно, если достигается стационарное состояние, то избыточные заряды располагаются на границе ∂V проводника в виде бесконечно тонкого электрического слоя. Потенциал этого слоя в точке x выражается интегралом:

где r− расстояние от переменной точки ξ поверхности проводника до точки x. Если точка x находится вне проводника, то функция 1r удовлетворяет уравнению Лапла-

са. Следовательно, уравнению Лапласа удовлетворяет и потенциал u, определяемый формулой (13.1). Чтобы доказать это утверждение, достаточно применить к инте-

36

гралу (13.1) правило дифференцирования по параметру, что можно сделать, так как, по предположению, точка x находится вне поверхности ∂V и, следовательно, подынтегральная функция в выражении (13.1) нигде не обращается в бесконечность.

Итак, в каждой точке x, лежащей вне проводника, потенциал u также удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому возникает задача нахождения функции u, удовлетворяющей уравнению Лапласа во всех точках окружающего проводник пространства, стремящейся к нулю на бесконечности и удовлетворяющей условию

U=const, когда x ∂ V.

Это последнее условие получило название граничного условия, в связи с чем рассматриваемую математическую задачу называют граничной.

В зависимости от вида граничного условия различают три основных вида граничной задачи:

1.u(x) =ϕ(x), когда x ∂ V − первая граничная задача или задача Дирихле,

2.∂∂un =ϕ(x), когда x ∂ V − вторая граничная задача или задача Неймана,

3.α2 ∂∂un +α1u =ϕ(x), когда x ∂ V − третья или смешанная граничная задача.

Здесь ϕ,α1,α2 −непрерывные функции, определенные на граничной поверх-

ности ∂ V, а ∂∂un означает производную, взятую в точке поверхности ∂ V по направ-

лению внешней нормали к ней. К этим видам граничной задачи приводит изучение широкого круга стационарных физических явлений и процессов.

14. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.

Функцию, удовлетворяющую в области D уравнению Лапласа, называют гармонической в этой области.

Пусть дан круг радиуса R c центром в полюсе O полярной системы координат. Будем искать функцию u(ρ,θ), гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию u ρ=R =ϕ(θ), где ϕ(θ) − заданная функция, непрерывная

на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа

u= Q(ρ) T (θ). Тогда получим

ρ2Q'' (ρ) T (θ) + ρQ' (ρ) T (θ) +Q(ρ) T '' (θ) = 0.

круга. Интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.

Примеры

41. На окружности круга x2 + y2 ≤ R2 температура распределяется по закону:

предполагая, что оно стационарно.

Решение. Поставленная задача − задача Дирихле для круга: требуется найти функцию, гармоническую внутри круга и принимающую на границе круга заданные зна-

чения u(R,θ) = R2 cos2 θ − R2 sin2 θ + 12 R sinθ = R2 cos 2θ + 12 R sinθ.

Согласно теории уравнения Лапласа искомая функция внутри круга имеет вид

найденные коэффициенты в выражение для u(ρ,θ) , получим решение задачи:

Ответ. Да.

43. Решить задачу Дирихле для круга радиуса R с центром в начале координат, если заданы следующие граничные условия: