Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

urmat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

591 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

31. Найти закон свободных колебаний квадратной мембраны со стороной l, если в начальный момент отклонение в каждой точке определялось равенством

u(x, y,t)

t =0

sin πx sin πy . Начальная скорость равна нулю. Вдоль контура

100

мембрана закреплена.

Решение. В рассматриваемом случае

(x, y) =

sin πx sin πy ,

ϕ (x, y) = 0. Следовательно,

100

Bmn = 0,

m =1,2,..,

n =1,2,...

l l

πx

πy

mπx

nπy

Amn =

∫∫

sin

l sin

sin

dxdy.

100

В силу ортогональности тригонометрической системы функций только A11 ≠ 0,

а все остальные

= 0.

sin2 πx dx

100l ∫

1 l

2πx

−cos

−

sin

100l

∫

100l

2π

100

Следовательно,

u(x, y,t) =

cos aπ

2 t sin

πx sin

πy .

100

8. Метод разделения переменных (общий случай).

Пусть требуется найти решение уравнения

	∂2u			∂		∂u	− q(x)u
ρ(x)	∂t	2	=		p(x)

				∂x		∂x

(где ρ(x), p(x), q(x) − достаточно гладкие функции, причем

q(x)≥0), удовлетворяющие условиям
αu(0,t) + β		∂u(0,t)	= 0,
		∂x
	∂u(l,t) = 0.
γu(l,t) +δ	∂u(l,t) = 0.
		∂x
		∂x

(8.1)

p(x)>0, ρ(x)>0,

(8.2)

и начальным условиям

		22
u(x,0) =ϕ(x),	∂u(x,0)	=ψ(x) (0 ≤ x ≤ l).	(8.3)
	∂t

Находим сначала нетривиальное решение данного уравнения, удовлетворяющее краевым условиям, в виде произведения

u(x,t) =T (t) X (x) .

(8.4)

Подставляя (8.4) в уравнение (8.1) получим

ρ(x)T"(t) X (x) =T (x)

p(x)

− q(x)T (t) X (x) или

− q(x) X (x)

p(x)

T"(t)

= −λ, где λ − некоторая постоянная. Отсюда

ρ(x) X (x)

T (t)

p(x)

+ (λρ(x) − q(x))X = 0,

(8.5)

T"(t) + λT (t) = 0

(8.6)

Так как T (t) ≠ 0, то для того чтобы функция (8.4) удовлетворяла краевым условиям (8.2), необходимо и достаточно выполнение условий:

αX (o) + βX '(0) = 0,	(8.7)
	(8.7)
γX (l) +δX '(l) = 0.

Таким образом, для определения функции X(x) мы пришли к следующей краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения:

Найти такие значения λ, называемые собственными значениями, при которых существует нетривиальное решение уравнения (8.5), удовлетворяющее условиям (8.7), а также найти эти нетривиальные решения, называемые собственными функциями.

Свойства собственных значений и собственных функций краевой задачи: 1. Существует счетное множество собственных значений λ1 < λ2 <... < λn <...,

которым соответствуют собственные функции X1 (x), X 2 (x),...

2.При q(x) ≥ 0 и (p(x) X n (x) X n' (x))xx==l0 ≤ 0 все собственные значения λn положительны.

3.Собственные функции на отрезке [0,l] образуют ортогональную с весом ρ(x) и

	нормированную систему:		m ≠ n,
l	0,	при
∫ρ(x) X n (x) X m (x) =		при	m = n.	(8.8)
0	1,

4. (Теорема Стеклова). Всякая функция f (x), удовлетворяющая краевым условиям

(8.7) и имеющая непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собст-

∞	l
венным функциям X n (x) : f (x) = ∑an X n (x),	an = ∫ρ(x) X n (x) f (x)dx.
n=1	0

Далее, для каждого собственного значения λn решаем уравнение (8.6). Общее решение уравнения (8.6) при λ = λn (обозначим его через Tn (t) ) имеет вид

Tn (t) = an cos λn t +bn sin λn t, где an и bn −произвольные постоянные. Таким образом, мы получили бесчисленное множество решений уравнения

(8.1) вида un (x,t) =Tn (t) X n (x) = (an cos λn t +bn sin λn t) X n (x).

Чтобы удовлетворить начальным условиям (8.3), составим ряд

∞

u(x,t) = ∑(an cos λn t +bn sin λn t) X n (x) (8.9)

n=1

Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него двукратным почленным дифференцированием по x и t, то сумма его будет удовлетворять уравнению (8.1) и краевым условиям (8.2).

Для выполнения начальных условий (8.3) найдем постоянные an и bn как коэффициенты разложения функций ϕ и ψ в обобщенные ряды Фурье по ортонормированной (с весом) системе функций (X n ).

Теперь можно сделать некоторые общие замечания относительно области применения метода разделения переменных.

В основе применимости метода лежит линейность как самих дифференциальных уравнений, так и краевых условий. Коэффициенты исходных дифференциальных уравнений должны быть либо постоянными, либо представляться в виде функций, каждая из которых содержит лишь одну из переменных. Например, в случае

дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными x и t соответствующее дифференциальное уравнение должно иметь вид

A(x)	∂2u	+ B(t)	∂2u	+C(x)	∂u	+ D(t)	∂u	+(F	(x) + F (t))u = 0 или приводиться
	∂x2		∂t2		∂x		∂t	1	2
	∂x2		∂t2		∂x		∂t

к этому виду. Краевые условия должны быть однородными. Если в исходной задаче эти условия не однородны, надо привести их к однородным. В случае двумерных (не считая времени) задач граница рассматриваемой области должна состоять из координатных линий (в трехмерном случае − из координатных поверхностей). Таким образом, если используется декартова система координат, границы области − отрезки прямых, параллельных осям координат (куски плоскостей, параллельных координатным плоскостям); при использовании полярной системы координат границы области − дуги окружностей с центрами в полюсе и отрезки лучей, выходящих из полюса, и т.д.

Это обстоятельство сильно ограничивает применимость метода. И в задаче распространения волн в пространстве, и в задачах расчета тепловых режимов, и в

теории потенциала приходится при использовании метода разделения переменных ограничиваться лишь самыми простыми конфигурациями исследуемых областей.

9. Вывод уравнения теплопроводности для стержня.

Рассмотрим однородный теплоизолированный с боков стержень конечной длины l, имеющий постоянную по длине толщину, и настолько тонкий, чтобы в любой момент времени температуру тела во всех точках поперечного сечения можно было бы считать одинаковой.

Выберем ось x (направив ее по оси стержня) так, чтобы стержень совпадал с отрезком [0;l] оси x.

				x
o
o	x	x +
	x	x +	x

Рисунок 5.

Обозначим температуру стержня в сечении x в момент t через u(x,t). Тогда функция u=u(x,t) дает закон распределения температуры в стержне. Выведем дифференциальное уравнение для этой функции.

Выделим элемент стержня [x,x+ x] и составим для него уравнение теплового баланса, согласно которому скорость изменения количества тепла в рассматриваемом объеме (изменение количества тепла в единицу времени), обусловленная теплоемкостью материала, равна количеству тепла, поступившему в этот объем в единицу времени вследствие теплопроводности.

Скорость изменения тепла в выделенном элементе стержня равна

x +	x	∂u ( x, t )
∫	cρs	∂u ( x, t )	dx ,	где с − теплоемкость материала стержня; ρ − плотность;
x		∂t

s − площадь поперечного сечения. Применяя к этому интегралу теорему о среднем,

x+	x	∂u(x,t)		∂u(x +θ1	x,t)
получим ∫	cρ s		dx = cρ s			x, где 0	<θ1	<1.
		∂t		∂t
x

Теперь найдем количества тепла, поступившее в выделенный элемент стержня за единицу времени. Так как стержень теплоизолирован с боков, то тепло может поступать только через сечения, ограничивающие выделенный элемент стержня. Известно, что количество тепла, протекающее через сечение с абсциссой x за единицу

времени, равно −k	∂u(x,t) s , где k − коэффициент теплопроводности, а s − пло-
	∂x

щадь сечения.

Поэтому искомое количество тепла равно

−ks

∂u(x,t)

− k

∂u(x + x,t)

∂u(x +

x,t)

−

∂u(x,t)

∂x

s −

∂x

= ks

∂x

= ks

∂2u(x +θ

2 x,t)

∂x2

где 0 <θ2 <1. ( Здесь применяется формула конечных приращений Лагранжа к

∂u(x,t)

функции ∂x ).

Составим уравнение теплового баланса

cρs	∂u(x +θ1	x,t)	x = ks	∂2u(x +θ2	x,t)	x.
	∂t			∂x2

Разделим обе части этого уравнения на s x (объем выделенного элемента стержня) и устремим x к нулю (стягивая выделенный элемент стержня к сечению). Получим

∂u(x,t)		2 ∂2u(x,t)		2		k
∂t	= a	∂x2	a		=		.	(9.1)

						cρ

Это уравнение называется уравнением теплопроводности для однородного стержня.

Величина a =	k	называется коэффициентом температуропроводности. Иско-
	cρ

мая функция u(x,t) должна удовлетворять уравнению (9.1), начальному условию u(x,t) t =0 = u(x,0) = f (x) (0 ≤ x ≤ l), где f(x)− заданная функция от x (это усло-

вие выражает закон распределения температуры по длине стержня в начальный момент времени t =0), и граничным условиям

u(x,t)		= u(0,t) =ϕ			(t),
u(x,t)		= u(0,t) =ϕ			(t),
	x=0		1			(0 ≤ t ≤ +∞), где ϕ1 (t) и ϕ2 (t) − заданные функции
u(x,t)		= u(l,t) =ϕ				(0 ≤ t ≤ +∞), где ϕ1 (t) и ϕ2 (t) − заданные функции
u(x,t)		= u(l,t) =ϕ		(t).
	x=l		2
	x=l		2

от времени t . Они определяют температуру, поддерживаемую на концах стержня. Отметим, что уравнение не учитывает тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.

10. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

Пусть Ω − конечная область трехмерного пространства. Обозначим через Q в пространстве переменных (x,y,z,t) цилиндр, основание которого есть область Ω и

образующие которого параллельны оси Ot. Пусть QT −часть этого цилиндра, ограниченного снизу плоскостью t=0 и сверху плоскостью t=T(T>0).Часть границы цилиндра QT , состоящую из его нижнего основания (t=0) и боковой поверхности, обозначим через Г .

Рассмотрим следующую задачу: найти в цилиндре QT решение уравнения теплопроводности

∂u

∂

= a

∂t

∂x

∂y

∂z

удовлетворяющее начальному условию u t =0 =ϕ(x, y, z)

и граничному условию

u s =ψ(P,t) (t [0,T ]),

(10.1)

(10.2)

(10.3)

где S− граница области Ω, Р − точка поверхности S. Функцииϕ и ψ непрерывны,

причем значения ψ при t=0 совпадают со значениями ϕ на границе S.

Задача нахождения решения уравнения (10.1) при условиях (10.2), (10.3) называется первой краевой задачей для уравнения теплопроводности.

Теорема. Функция u(x,y,z,t), удовлетворяющая однородному уравнению теплопроводности (10.1) внутри цилиндра QT и непрерывная вплоть до его границы, принимает наибольшее и наименьшее значения на Г, т.е. или при t=0, или на боковой поверхности цилиндра QT .

Из этой теоремы непосредственно вытекает, что:

1)Решение первой краевой задачи (10.1)-(10.3) единственно.

2)Решение первой краевой задачи (10.1)-(10.3) непрерывно зависит от правых частей начального и граничного условий.

3)Если функция и, непрерывная на замыкании QT и удовлетворяющая первой краевой задаче (10.1)-(10.3), равна нулю на Г, то она тождественно равна нулю в замыкании QT .

11. Интегрирование уравнения распространения тепла в ограниченном стержне методом Фурье.

Задача о распространении тепла в теплоизолированном с боков стержне длины l приводится к нахождению решения уравнения

∂u	= a2 ∂2u	(11.1)
∂t	∂x2

в области 0≤ x ≤ l, 0≤ t <+∞, удовлетворяющего начальному условию

u(x,0) = f (x) (0 ≤ x ≤ l)

(11.2)

и граничным условиям	u(0,t) =ϕ	(t),	(0	≤ t < +∞).
	1
	u(l,t) =ϕ2 (t)

Ограничимся рассмотрением случая, когда на концах стержня поддерживается постоянная температура, т.е. когда граничные условия имеют вид:

то функция v удовлетворяет тому же уравнению, что и

u(0,t) = u0 = const,		(0 ≤ t < +∞). (11.3)
u(l,t) = u1 = const

Не умаляя общности можно считать, что u0 = 0, u1 = 0, ибо в противном случае этого всегда можно добиться при помощи замены искомой функции u(x,t) по формуле

v(x,t) = u(x,t) −u0	−	u1 −u0	x,	(11.4)
		l

где v − новая неизвестная функция. Действительно, так как

∂∂vt = ∂∂ut ,

функция и:

∂2v = ∂2v , ∂x2 ∂x2

∂v = a2 ∂2v . ∂t ∂x2

Далее из (11.4) и (11.3) следует, что

v(0,t) = 0,		(0 ≤ t < +∞).
v(l,t) = 0

Таким образом, достаточно найти решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2) и граничным условиям

u(0,t) = 0,		(0 ≤ t < +∞).
u(l,t) = 0

Как и в случае волнового уравнения, будем искать решение уравнения (11.1) в виде произведения двух функций

u = X (x)T (t),

(11.5)

одна из которых зависит только от x , а другая −только от t; причем X (x) ≠ 0 и T (t) ≠ 0 , ибо в противном случае u(x,t)≡ 0, что невозможно: функция и≡ 0 не

удовлетворяет начальному условию (11.2), поскольку предполагается, что f(x)≠ 0. В силу граничных условий функция X(x) должна обращаться в нуль на концах

интервала [0; l ]:

X (0) = 0 X (l) = 0. Подставляя (11.5) в (11.1), получим

X (x) T

(t) = a

(x) T (t) или

T ' (t)

X '' (x)

= −λ.

a2T (t)

X (x)

Отсюда заключаем, что функции X (x)

и T (t) должны быть решениями однород-

ных линейных дифференциальных уравнений

X '' + λX = 0

(11.6)

T ' + a2λT = 0

(11.7)

Ненулевые решения уравнения (11.6) существуют только при λ = λk , где

πk

λk =

(k =1,2,..), причем в качестве этих решений можно взять функции

X k = sin

kπ

(k =1,2,...).

Заменяя в уравнении (11.7) λ на λk , получаем

akπ

−

уравнение T

T = 0.

Его общим решением будет T

= c

, где

ck −произвольная постоянная, соответствующая взятому значению k .

Подставляя найденные значения X = X k					u T =Tk в (11.5), получим решение
уравнения (11.1) в виде	2
akπ			kπ
−	t

uk (x,t) = ck e l		sin		x	(k =1,2,..)	(11.8)

			l

Каждая из функций (11.8) удовлетворяет граничным условиям. Можно показать, что функция

∞	akπ		2		kπ
	−		t

u(x,t) = ∑ck e		l		sin		x	(11.9)

k =1					l

тоже является решением уравнения (11.1), удовлетворяющим граничным условиям. Выберем теперь коэффициенты Ck таким образом, чтобы функция (11.9)

удовлетворяла и начальному условию (11.2). Полагая в (11.9) t=0, получим

∞	kπ
f (x) = ∑ck sin		x	(11.10)

k =1	l

Предположим, что функция f(x) разложима в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье по синусам

∞

kπ

f (x) = ∑bk sin

(11.11)

k =1

2 l

kπ

Тогда bk =

∫ f (x) sin

xdx. Сравнивая (11.10), (11.11), видим, что

2 l

kπ

ck = bk ,т.е. ck =

∫ f (x) sin

xdx, чем и завершается решение задачи.

2 ∂2u

Пример1. Найти решение уравнения теплопроводности

∂u

= a

∂t

∂x2

при граничных условиях u(0;t) = 0, u(l;t) = 0

и начальном условии

x, если 0 ≤ x <

u(x;0) =

l − x, если

≤ x ≤ l.

Решение. Решение определяется формулой

∞

−a2π2n2t

πnx ,

u(x;t) = ∑cne

sin

где cn

вычисляется по формулам

n=1

πnx

∫x sin

dx +

∫(l − x) sin

cn = l

Вычисляя интегралы, получим:

πnx

πn

∫x sin

dx = −

cos 2

sin

2πn

π 2n2

πnx

πn

∫(l − x) sin

cos

2 +

sin

2 .

2πn

πn2

πn

sin

Складывая вычисленные интегралы, найдем, что c

. Так как

π 2

sinπn = 0, то и c

= 0.

Далее имеем c

2n+1

(−1)n−1

π 2

(2n −1)2

Решение задачи запишется так:

∞

π 2 a 2

(2n−1)

π(2n −1)

n−1

−

l 2

u(x,t) =

∑(−1)

sin

x .

π 2

(2n −1)2

n=1

32. Дан тонкий однородный стержень длины l, на концах которого поддерживается постоянная температура, равная нулю. Начальная температура стержня определяет-

ся уравнением u(x,0) = 3sin

πx

− 2sin

3πx

. Определить температуру стержня при

t > 0.

π 2 a 2t

9π 2 a 2t

−

πx

−

3πx

Ответ. u(x,t) = 3e

sin

−2e

sin

33. Концы стержня длиной l=100 см поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру u(x,t) в точках стержня для любого момента времени

t, если известно начальное распределение температуры

если

0 ≤ x ≤ 25,

u(x,0) =

100

−

, если 25 < x ≤100.

160

∞

sin nπ e

−

a 2 n2t

πnx .

Ответ. u(x,t) =

∑

sin

3π 2

n=1 n2

34. Концы стержня длиной l поддерживаются при температуре, равной нулю. На-

чальная температура определяется формулой u(x,0) = 5sin πlx −2sin 3πl x . Опреде-

лить температуру стержня для любого момента времени.

−	a 2π		2t		πx
	l	2		sin		−2e
Ответ. u(x,t) = 5e					l

−9a 2π 2t l 2

sin 3πl x .

35. Найти распределение температуры в стержне длиной l, если на концах его поддерживается температура, равная нулю, а начальная температура равна единице вдоль всего стержня.

∞

−

(2n+1)2 π 2 a 2t

2n +1

∑

Ответ. u(x,t) =

sin

πx.

2n −1

n=1

36. Найти решение уравнения

∂u

∂

, удовлетворяющее граничным условиям

∂t

∂x2

u(0,t) = u(π,t) = 0 и начальному условию u(x,0) = 3sin 2x. Ответ. u(x,t) = 3e−4t sin 2x.

37. Конец стержня x = 0 имеет температуру u(0,t) = 0, а на конце x=l поддерживается температура u(l,t) =100o. Вычислить распределение температуры u(x,t) в

точках стержня для любого момента времени t, если известно распределение ее в начальный момент

	200	x,	если	0 ≤ x ≤		l	,
		x,	если	0 ≤ x ≤			,
	l			2
u(x,0) =	l			2
100,			если	l	< x ≤ l.
100,			если		< x ≤ l.
				2
				2

Указание. Эту задачу целесообразно свести к задаче с нулевыми граничными условиями.

	100x		400	∞	−	a2 n2t	(2n −1)πx

Ответ. u(x,t) =		+		∑e		l 2 sin		.
	l		π2
				n=1			l

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015720 Кб20Truhan-NM-Kinematika.pdf
#
03.06.2015315 Кб12umf.pdf
#
01.07.202582 Кб0Unit 12. Technology. A.V.doc
#
25.08.201974 Кб8Unix (21.03.12) Сокеты.doc
#
26.08.201983 Кб8Unix (28.03.12) IP-Сокеты.doc
#
03.06.2015591 Кб57urmat.pdf
#
03.06.20152 Мб69Ushakov 1.doc
#
03.06.20154 Мб10Ushakov 2.doc
#
01.07.2025838 Кб0Variant1_MATEMATIKA_2016.docx
#
27.03.201614 Мб42Verzhbitsky-Osnovy_chislennykh_metodov-_2002.djvu
#
01.07.2025210 Кб0Vopros_1 (2).docx