P5_9_2012
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа
Московского физико-технического института (государственного университета)»
ФИЗИКА
Работа. Энергия
Задание №5 для 9-х классов
(2012 – 2013 учебный год)
г. Долгопрудный, 2013
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
Составитель: А.Ю. Чугунов, магистр естественных наук.
Физика: задание №5 для 9-х классов (2012 – 2013 учебный год), 2013,
24с.
Дата отправления заданий по физике и математике – 05 марта 2013г.
Учащийся должен стараться выполнять все задачи и контрольные вопросы в заданиях. Некоторая часть теоретического материала, а также часть задач и контрольных вопросов являются сложными и потребуют от учащегося больше усилий при изучении и решении. В целях повышения эффективности работы с материалом они обозначены символом «*» (звездочка). Мы рекомендуем приступать к этим задачам и контрольным вопросам в последнюю очередь, разобравшись вначале с более простыми.
Составитель:
Чугунов Алексей Юрьевич
Подписано 21.01.13. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5.
Уч.-изд. л. 1,33. Тираж 700. Заказ №4-з.
Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,
тел./факс (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение,
тел. (499) 755-55-80 – очное отделение.
e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© ЗФТШ, 2013
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
2
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
Введение
В предлагаемом задании основное внимание будет уделено энергетическому подходу к изучению механического движения материальной точки. Опираясь на уже известные Вам понятия силы, пройденного пути и перемещения, мы введѐм новые важные физические величины, такие как механическая работа, мощность, энергия.
Для успешного изучения материала настоящего задания советуем повторить понятия скалярного произведения векторов и проекции вектора на заданное направление, изложенные в задании №1 «Векторы в физике».
§1. Работа силы. Мощность силы
1.Работа постоянной силы на прямолинейном участке траектории.
Рассмотрим тело (материальную точку), на которое действует по-
стоянная сила F . Допустим, что по тем y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
||||||
или иным причинам тело пришло в со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
стояние движения и за некоторое время |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t совершило перемещение |
S |
вдоль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
FS |
|
|
|
|||||
прямой из своего первоначального поло- |
|
|
|
|
|
S |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
жения (рис. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Работой постоянной силы |
F |
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямолинейном движении тела называется скалярное произведение вектора этой силы на вектор перемещения тела S.
Обозначив работу через A , можно записать |
|
A F S. |
(1) |
Согласно определению скалярного произведения векторов, данному в задании №1, величина F S равна F S cos , где – угол между
векторами F и S . Поэтому |
|
A F S cos . |
(2) |
Полученную формулу (2) можно переписать по-другому, воспользо-
вавшись понятием проекции вектора на заданное направление. В самом |
|
деле, в предложенных обозначениях величина F cos |
есть не что |
иное, как проекция FS вектора F на направление вектора S и, следо- |
|
вательно, работа A равна: |
|
A FS S. |
(3) |
В свою очередь, можно рассматривать произведение |
S cos , как |
проекцию SF вектора перемещения S на направление вектора силы
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
3
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия |
|
|
|
|
||||||
F , и тогда для работы получаем выражение: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A SF F. |
|
|
|
|
(4) |
|
Формулы (3) и (4) представляют собой лишь различные варианты |
||||||||||
записи основной формулы (2) и с этой точки зрения совершенно равно- |
||||||||||
правны. Вопрос о том, какой из формул предпочтительнее пользоваться |
||||||||||
при решении той или иной задачи, должен решаться в каждом конкрет- |
||||||||||
ном случае из соображений удобства и наглядности. |
|
|
|
|||||||
По определению работы она, |
в отличие от силы F и перемещения |
|||||||||
S, является не векторной, а скалярной величиной, и понятие направле- |
||||||||||
ния, следовательно, к работе неприменимо. |
|
|
|
|
||||||
В системе единиц СИ единицей работы служит джоуль (Дж): |
|
|||||||||
|
|
|
1Дж 1Н 1м. |
|
|
|
|
|||
В реальных ситуациях к телу приложено, как правило, несколько |
||||||||||
сил, и часто бывает необходимо знать общую работу, совершаемую |
||||||||||
этими силами над телом. В таких случаях вместо того, чтобы рассмат- |
||||||||||
ривать по отдельности действие каждой из сил, можно найти их равно- |
||||||||||
действующую и свести, таким образом, задачу к рассмотренному выше |
||||||||||
случаю действия одной силы. Поясним это на простом примере. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на тело действуют две постоянные силы F1 |
и F2 , направлен- |
|||||||||
ные под углом друг к другу (рис. 2), и требуется определить общую ра- |
||||||||||
|
|
F |
|
|
боту, которую они совершают. Если |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
кроме указанных двух сил никакие |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
F |
другие силы на тело не действуют и |
|||||
|
|
1 |
2 |
до начала эксперимента тело нахо- |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
дилось в покое в некоторой инерци- |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
альной системе отсчѐта, то движе- |
|||||
|
|
|
|
|
ние будет происходить по прямой в |
|||||
|
|
F2 |
|
|
направлении |
|
равнодействующей |
|||
|
|
|
|
F , и |
работа, |
совершаемая |
равно- |
|||
|
|
Рис. 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
действующей силой F на некото- |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
ром |
перемещении |
S, |
|
будет |
равна |
|
|
A F S, |
где |
|
F F1 cos 1 F2 cos 2 |
(последнее ясно из рассмотрения двух заштри- |
|||||||||
хованных треугольников на рис. 2). Поэтому |
|
|
|
|
||||||
|
|
A F1 cos 1 F2 cos 2 S F1S cos 1 F2S cos 2. |
|
|||||||
Замечая, |
что произведение F1S cos 1 есть, по определению, работа A1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
F S cos |
|
равна работе A |
||
силы |
F |
на перемещении S , |
а величина |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
силы F2 |
на том же перемещении, можно записать A A1 A2 . |
|
||||||||
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
Как видим, в данном случае общая работа равна алгебраической сумме работ отдельных сил (хотя сами силы складываются не алгебраически, а геометрически). Полученный результат можно обобщить на случай любого числа сил, а именно,
если на тело действует n сил, то их общая работа |
A на некото- |
||
ром перемещении S равна алгебраической сумме работ каждой из сил |
|||
в отдельности на том же перемещении: |
|
||
|
|
A A1 A2 ... An , |
(5) |
|
|
||
где Ai Fi |
S для всех i 1, 2,3,..., n. |
|
|
Из сказанного следует, что общую работу нескольких сил можно находить двумя способами:
1) сложить все силы геометрически, т. е. найти их равнодействую-
щую F , а затем |
вычислить общую работу A по формуле |
A F S cos , где |
– угол между направлением равнодействую- |
щей F и направлением перемещения S;
2) не находя равнодействующей всех сил, вычислить работу каждой из них и затем сложить полученные результаты алгебраически.
Вобоих случаях результат будет одним и тем же, и только по соображениям удобства и рациональности при решении конкретной задачи можно отдать предпочтение какому-либо из способов.
Заметим ещѐ, что второй способ является более общим, так как в случаях, когда тело нельзя считать материальной точкой, силы, приложенные к нему, могут не иметь равнодействующей, о чѐм говорилось в Задании №4, посвящѐнном вопросам статики (например, пара сил). Здесь уже нельзя сказать, что общая работа сил есть работа их равнодействующей, но можно и в этом случае назвать общей работой алгебраическую сумму работ каждой из сил.
Взависимости от значения угла в формуле (2) работа различных сил может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Действительно, рассмотрим в качестве примера груз, который тянут за ве-
рѐвку волоком по земле (рис. 3). На груз действуют следующие силы:
сила натяжения верѐвки F , сила трения между грузом и землѐй Fтр ,
сила тяжести mg и сила нормальной реакции опоры N со стороны
земли. Если груз перемещается в направлении, показанном на рисунке, то сила натяжения верѐвки совершает положительную работу, т. к. еѐ
проекция |
FS |
на |
направление |
перемещения положительна |
|||
|
0 |
α |
π |
, cos α 0 |
|
Сила трения F тр |
|
|
|
. |
направлена противоположно |
||||
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
5
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
перемещению , cos 1 и, следовательно, |
совершает отрица- |
|||
тельную работу. Сила нормальной реакции опоры |
|
N и сила тяжести |
||
|
|
|
π |
|
mg направлены перпендикулярно перемещению |
|
|
, и работа |
|
|
||||
каждой из них, поэтому равна нулю cos 0 . |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
F |
|
N |
|
|
|
|
FTP |
|
S |
x |
|
mg |
|
|
F
S
FS 
A=F .S
S
O S S
Рис. 3 Рис. 4
Для работы можно дать наглядное графическое представление. Если отложить по оси абсцисс модуль перемещения S, совершаемого телом
вдоль прямой, а по оси ординат – значение проекции FS , то в случае,
когда F постоянна, график FS будет иметь вид прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 4). Если тело, на которое действует сила F , соверша-
ет перемещение S , то работа силы F , определяемая произведением FS S , будет численно равна площади прямоугольника со сторонами S
и FS .
Пример 1. Тело массы m было поднято на некоторую высоту над поверхностью Земли и отпущено без начальной скорости. Определить работу, которую совершит сила тяжести в процессе свободного падения тела на некотором участке траектории длиной l .
Решение. Так как тело движется прямолинейно, то пройденный им путь l равен модулю вектора перемещения S . В процессе падения на
тело действует постоянная сила F mg , направление которой совпадает с направлением вектора перемещения. Тогда FS mg и искомая работа (рис. 4) равна A mg S mg l .
Пройдя путь l , тело опустится с некоторой высоты h1 на высоту h2 h1 l . Тогда работу силы тяжести можно выразить через h1 и h2 :
A mg h1 h2 mgh1 mgh2.
2. Работа переменной силы на криволинейном участке траектории.
На практике чаще встречаются ситуации, когда движение тела не
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
6
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
прямолинейное, а действующая на тело сила F меняется как по модулю, так и по направлению.
Работой переменной силы на криволинейном участке траектории называется алгебраическая сумма элементарных работ, определяемых следующим образом. Разобьѐм траекторию тела на достаточно малые участки (не обязательно одинаковой длины), на которых силу можно с хорошей степенью точности считать постоянной, а сами участки пря-
молинейными (рис. 5). На каждом из таких участков тело совершит ма- |
||||
|
|
|
|
|
лое перемещение S , и элементарная работа |
A силы F |
на этом |
||
перемещении будет равна |
|
|
|
|
A F |
S F S cos . |
(6) |
||
|
|
|
|
|
Теперь для того, чтобы найти работу силы |
F на всей траектории |
|||
движения тела, надо просуммировать все A, полученные для каждого
участка S, т. е. A A. В рамках обычной школьной программы
подсчитать такую сумму довольно сложно. Покажем, как найти работу переменной силы в случае прямолинейного движения. Примером может служить прямолинейное движение санок (рис. 6), когда их тянут за верѐвку, меняя как угол наклона верѐвки, так и модуль прикладывае-
мой силы F , работу которой и требуется определить. Это опять-таки удобно сделать с помощью графического метода.
|
|
FS |
|
F |
FS=FS (S) |
||
|
|
|
|
F
FS
S
S
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 5 |
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
Рис. 7 |
|
||||
Построим график зависимости FS |
|
|
|
|
|
|||||||||
(проекции силы F на направле- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ние вектора перемещения S ) от расстояния S , пройденного санками |
||||||||||||||
(рис. 7). Разобьѐм S |
на интервалы |
S столь малые, |
что в пределах |
|||||||||||
каждого из них величину FS можно считать постоянной. Тогда на всяком S работа численно равна площади прямоугольника со сторонами FS и S , и полная работа на пути S будет численно равна сумме
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
7
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия |
|
|
|
|||||
площадей всех прямоугольников, или, что то же, площади под кривой |
||||||||
|
|
|
|
FS FS |
S . |
|
|
|
Пример 2. Горизонтально расположенная пружина жѐсткости k , |
||||||||
прикреплѐнная одним концом к стене, а другим к грузу, лежащему на |
||||||||
гладком горизонтальном столе, сжата на x см . Найти работу, которую |
||||||||
совершит сила упругости по перемещению груза в процессе перехода |
||||||||
пружины в недеформированное |
|
|
|
|
||||
состояние. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Воспользуемся |
|
|
|
|
|||
графическим методом подсчѐта |
|
|
|
|
||||
работы (рис. 8). В первоначаль- |
|
|
|
|
||||
ном положении, когда S 0 и |
|
|
|
|
||||
пружина сжата на величину x, |
|
|
|
|
||||
сила |
упругости, действующая |
F |
|
|
|
|||
на груз, равна k x . |
Если под |
k .xS |
|
|
|
|||
действием пружины груз пере- |
FS =k(x |
S) |
|
|||||
местился на расстояние |
S , то |
|
|
|
|
|||
деформация |
пружины |
умень- |
|
|
|
|
||
шилась на величину |
S |
и соот- |
|
|
|
|
||
ветствующая |
сила |
упругости |
|
|
|
|
||
стала равна FS k x S . |
0 |
|
|
S=x S |
||||
|
|
|
||||||
Построив |
график |
зависимо- |
Рис. 8 |
|
|
|||
сти |
FS S , |
в соответствии с |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
этим выражением, получим прямую, проходящую через точки с коор- |
||||||||
динатами 0; kx и x; |
0 . Искомая работа будет равна площади за- |
|||||||
штрихованного треугольника 1 kx x . Таким образом, |
работа силы |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
упругости деформированной пружины квадратично зависит от величи- |
||||||||
ны деформации x и может быть записана в виде: A |
|
k x2 |
||||||
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
упр |
|
|
2 |
3. Мощность силы. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
На практике часто бывает полезно знать, как быстро может быть со- |
||||||||
вершена та или иная работа. Для характеристики скорости, с которой |
||||||||
совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Если |
||||||||
за промежуток времени t сила F , |
приложенная к телу, совершает |
|||||||
элементарную работу A, определяемую формулой (6), то средняя |
||||||||
мощность, развиваемая этой силой за данный промежуток времени, по |
||||||||
определению есть |
|
|
|
|
|
|
||
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
8
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
N |
A |
. |
(7) |
ср t
Или, учитывая (6) и воспользовавшись свойством скалярного произве-
дения векторов, получим: N |
|
|
F S |
|
F S . |
|
|
ср |
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
( t 0), получим |
||
Устремляя в этом равенстве величину t к нулю |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вместо S / t мгновенную скорость |
v тела. Тогда мощность N , раз- |
||||||
виваемая силой F в данный момент времени, – мгновенная мощность, |
|||||||
– может быть определена по следующей формуле: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
N F v. |
|
||||
Таким образом, мгновенная мощность силы |
F |
равна скалярному |
|||||
произведению вектора силы на вектор скорости |
v |
движения тела, к |
|||||
которому приложена эта сила, причѐм характер зависимости силы F от времени может быть совершенно произвольным. Единицей измере-
ния мощности в системе СИ служит ватт (Вт): 1Вт 1 Джс .
Пример 3. Мальчик тянет санки по снегу с постоянной силой F 5H, направленной под углом 30 к горизонту (рис. 6). При этом сани движутся по прямолинейному горизонтальному участку пути, и за 1 минуту совершают перемещение S 30 м . Какова мощ-
ность силы, прикладываемой мальчиком?
Решение. По условию задачи нельзя судить об ускоренности или равномерности движения санок (т. к. ничего не сказано о величине силы сопротивления движению со стороны снега). Однако мы можем
подсчитать работу A силы F на перемещении S по формуле (2). Эта работа, согласно условию, будет совершена за время t, равное одной минуте. В задаче, таким образом, подразумевается средняя мощ-
ность, развиваемая силой F за промежуток времени t . Но тогда по формуле (7) получаем:
N |
A |
|
F S cos |
|
50H 30 м cos 30 |
21Вт. |
||
t |
t |
m |
60c |
|||||
|
|
|
|
|||||
Пример 4. Камень массы |
бросили с поверхности Земли под уг- |
|||||||
лом к горизонту с начальной скоростью v0 . Пренебрегая сопротив-
лением воздуха, найти мощность силы тяжести через t секунд после начала движения.
Решение. Скорость камня через t секунд после начала движения определяется по формуле v v0 gt . Поскольку в задаче требуется
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
9
2012-2013 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия |
|
|
|
||||||||||
определить мощность, |
развиваемую |
|
y |
|
|
v |
|
||||||
силой тяжести в конкретный момент |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
v0 |
m |
|
|
||||||||
времени (в то мгновение, когда после |
|
|
|
|
|||||||||
начала движения прошло t |
секунд), |
|
|
|
|
|
|
||||||
то речь идѐт о мгновенной мощности, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
для которой применима формула (8). |
|
|
|
mg |
|
|
|||||||
Тогда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||||
|
N mg v mg v0 gt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= + 2 |
|
|
x |
||||||
|
mg v mg gt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
Учитывая, что g g g2 |
, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N m g |
v0 g 2t . |
|
|
|
|
Рис. |
9 |
|
|
|||
В нашем случае (рис. 9) угол |
|
|
|
|
|
|
|||||||
между векторами |
g и |
v0 |
равен |
||||||||||
|
, значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gv0 gv0 cos gv0 cos |
|
gv0 sin . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Тогда N mg gt v0 sin . |
|
|
|
|||||||
|
Отсюда |
видно, что |
при |
t |
v0 sin |
мощность |
N 0 , |
а при |
|||||
|
g |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
v0 sin β |
, наоборот, N |
0 . Как и следовало ожидать, |
мощность силы |
|||||||||
g |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тяжести отрицательна при подъѐме камня и положительна при его падении.
Мощность, как и работа, определѐнным образом характеризует силу. По величине мощности можно судить о быстроте, с которой конкретная сила совершает работу. Именно поэтому мы говорим не просто о мощности, а о мощности силы. Развитие технического прогресса, однако, привело к созданию огромного числа машин и механизмов, действие которых также принято характеризовать мощностью. В этом случае мощность представляет собой величину работы, которую совершает или может совершить та или иная машина в единицу времени. Но, с другой стороны, в нашем рассмотрении работу совершают конкретные силы, а не отвлечѐнные машины и механизмы, и, следовательно, понятие мощности нужно употреблять с известной осторожностью. А именно, во избежание недопонимания следует прежде всего уяснить для себя, какие именно силы совершают работу в каждом конкретном случае и лишь затем говорить о мощности, развиваемой машиной (механизмом), подразумевая под этим мощность указанных сил.
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
10