P5_9_13
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа
Московского физико-технического института (государственного университета)»
ФИЗИКА
Работа. Энергия
Задание №5 для 9-х классов
(2013 – 2014 учебный год)
г. Долгопрудный, 2014
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
Составитель: А.Ю. Чугунов, магистр естественных наук.
Физика: задание №5 для 9-х классов (2013 – 2014 учебный год), 2014,
26с.
Дата отправления заданий по физике и математике – 05 марта 2014г.
Учащийся должен стараться выполнять все задачи и контрольные вопросы в заданиях. Некоторая часть теоретического материала, а также часть задач и контрольных вопросов являются сложными и потребуют от учащегося больше усилий при изучении и решении. В целях повышения эффективности работы с материалом они обозначены символом «*» (звѐздочка). Мы рекомендуем приступать к этим задачам и контрольным вопросам в последнюю очередь, разобравшись вначале с более простыми.
Составитель:
Чугунов Алексей Юрьевич
Подписано 10.01.14. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,6.
Уч.-изд. л. 1,44. Тираж 700. Заказ №38-з.
Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,
тел./факс (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение,
тел. (499) 755-55-80 – очное отделение.
e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© ЗФТШ, 2014
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
2
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
Введение
В предлагаемом задании основное внимание будет уделено энергетическому подходу к изучению механического движения материальной точки. Опираясь на уже известные Вам понятия силы, пройденного пути и перемещения, мы введѐм новые важные физические величины, такие как механическая работа, мощность, энергия.
Для успешного изучения материала настоящего задания советуем повторить понятия скалярного произведения векторов и проекции вектора на заданное направление, изложенные в задании №1 «Векторы в физике».
§1. Работа силы. Мощность силы
1.Работа постоянной силы на прямолинейном участке траектории.
Рассмотрим тело (материальную точку), на которое действует по-
стоянная сила F . Допустим, что по тем y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
||||||
или иным причинам тело пришло в со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
стояние движения и за некоторое время |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t совершило перемещение |
S |
вдоль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
FS |
|
|
|
|||||
прямой из своего первоначального поло- |
|
|
|
|
|
S |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
жения (рис. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Работой постоянной силы |
F |
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямолинейном движении тела называется скалярное произведение вектора этой силы на вектор перемещения тела S .
Обозначив работу через A, можно записать |
|
A F S. |
(1) |
Согласно определению скалярного произведения векторов, данному в задании №1, величина F S равна F S cos , где – угол между
векторами F и S. Поэтому |
|
A F S cos . |
(2) |
Полученную формулу (2) можно переписать по-другому, воспользо-
вавшись понятием проекции вектора на заданное направление. В самом |
|
деле, в предложенных обозначениях величина F cos |
есть не что |
иное, как проекция FS вектора F на направление вектора S и, следо- |
|
вательно, работа A равна: |
|
A FS S. |
(3) |
В свою очередь, можно рассматривать произведение |
S cos как |
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
3
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия |
|
|
|||||||
проекцию SF |
вектора перемещения |
S на направление вектора силы |
|||||||
F , и тогда для работы получаем выражение: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A SF F. |
|
|
(4) |
||
|
Формулы (3) и (4) представляют собой лишь различные варианты |
||||||||
записи основной формулы (2) и с этой точки зрения совершенно равно- |
|||||||||
правны. Вопрос о том, какой из формул предпочтительнее пользоваться |
|||||||||
при решении той или иной задачи, должен решаться в каждом конкрет- |
|||||||||
ном случае из соображений удобства и наглядности. |
|
|
|||||||
|
По определению работы она, в отличие от силы F и перемещения |
||||||||
S, является не векторной, а скалярной величиной, и понятие направле- |
|||||||||
ния, следовательно, к работе неприменимо. |
|
|
|
||||||
|
В системе единиц СИ единицей работы служит джоуль (Дж): |
|
|||||||
|
|
|
1Дж 1Н 1м. |
|
|
|
|||
|
В реальных ситуациях к телу приложено, как правило, несколько |
||||||||
сил, и часто бывает необходимо знать общую работу, совершаемую |
|||||||||
этими силами над телом. В таких случаях вместо того, чтобы рассмат- |
|||||||||
ривать по отдельности действие каждой из сил, можно найти их равно- |
|||||||||
действующую и свести, таким образом, задачу к рассмотренному выше |
|||||||||
случаю действия одной силы. Поясним это на простом примере. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на тело действуют две постоянные силы F1 |
и F2 , направлен- |
|||||||
ные под углом друг к другу (рис. 2), и требуется определить общую ра- |
|||||||||
|
F |
|
|
|
боту, которую они совершают. Ес- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ли кроме указанных двух сил ника- |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
F |
кие другие силы |
на тело не дей- |
|||
|
1 |
|
2 |
ствуют и до начала эксперимента |
|||||
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
тело находилось в покое в некото- |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
рой инерциальной системе отсчѐта, |
||||
|
|
|
|
|
то движение будет происходить по |
||||
|
|
|
F2 |
|
прямой в |
направлении равнодей- |
|||
|
|
|
|
ствующей |
F , и работа, совершае- |
||||
|
|
Рис. 2 |
|
||||||
|
|
|
мая равнодействующей силой |
F |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
на |
некотором |
перемещении |
S , |
будет |
равна |
A F S , |
где |
||
F F1 cos 1 F2 cos 2 (последнее ясно из рассмотрения двух заштри- |
|||||||||
хованных треугольников на рис. 2). Поэтому |
|
|
|
||||||
|
A F1 cos 1 F2 cos 2 |
S F1S cos 1 F2S cos 2. |
|
||||||
Замечая, что произведение F1S cos 1 |
есть, по определению, работа A1 |
||||||||
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
|
на перемещении S , а величина F S cos |
|
|
A |
силы F |
|
равна работе |
||
1 |
2 |
2 |
|
2 |
силы F2 |
на том же перемещении, можно записать A A1 A2 . |
|
||
Как видим, в данном случае общая работа равна алгебраической сумме работ отдельных сил (хотя сами силы складываются не алгебраически, а геометрически). Полученный результат можно обобщить на случай любого числа сил, а именно:
если на тело действует n сил, то их общая работа |
A на некото- |
||
ром перемещении S равна алгебраической сумме работ каждой из сил |
|||
в отдельности на том же перемещении: |
|
||
|
|
A A1 A2 ... An , |
(5) |
|
|
||
где Ai Fi |
S для всех i 1, 2,3,..., n. |
|
|
Из сказанного следует, что общую работу нескольких сил можно находить двумя способами:
1) сложить все силы геометрически, т. е. найти их равнодействую-
щую F , а затем |
вычислить общую работу A по формуле |
A F S cosα , где |
– угол между направлением равнодействующей |
Fи направлением перемещения S ;
2)не находя равнодействующей всех сил, вычислить работу каждой из них и затем сложить полученные результаты алгебраически.
В обоих случаях результат будет одним и тем же, и только по соображениям удобства и рациональности при решении конкретной задачи можно отдать предпочтение какому-либо из способов.
Заметим ещѐ, что второй способ является более общим, так как в случаях, когда тело нельзя считать материальной точкой, силы, приложенные к нему, могут не иметь равнодействующей, о чѐм говорилось в Задании №4, посвящѐнном вопросам статики (например, пара сил). Здесь уже нельзя сказать, что общая работа сил есть работа их равнодействующей, но можно и в этом случае назвать общей работой алгебраическую сумму работ каждой из сил.
в формуле (2) работа различных
сил может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Действительно, рассмотрим в качестве примера груз, который тянут за верѐвку волоком по земле (рис. 3). На груз действуют следующие силы:
сила натяжения верѐвки F , сила трения между грузом и землѐй Fтр ,
сила тяжести mg и сила нормальной реакции опоры N со стороны
земли. Если груз перемещается в направлении, показанном на рисунке, то сила натяжения верѐвки совершает положительную работу, т. к. еѐ
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
5
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
проекция |
FS |
на |
направление |
перемещения |
положительна |
|||
|
|
|
|
|
Сила трения |
F тр направлена противоположно |
||
0 |
|
, cos 0 , |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
перемещению , |
cos 1 и, следовательно, совершает отрица- |
|||||||
тельную работу. |
Сила нормальной реакции опоры |
N и сила тяжести |
||||||
|
направлены перпендикулярно перемещению |
|
|
|||||
mg |
|
, и работа |
||||||
каждой из них поэтому равна нулю cos α 0 . |
|
2 |
||||||
|
|
|||||||
y |
|
F |
|
N |
|
|
|
|
FTP |
|
S |
x |
mg |
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
F |
|
|
S |
|
|
FS |
.S |
|
A=F |
|
|
S |
|
|
O |
S |
S |
Рис. 4 |
|
|
Для работы можно дать наглядное графическое представление. Если отложить по оси абсцисс модуль перемещения S , совершаемого телом
вдоль прямой, а по оси ординат – значение проекции F , то в случае,
S
когда F постоянна, график FS будет иметь вид прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 4). Если тело, на которое действует сила F , соверша-
ет перемещение S , то работа силы F , определяемая произведением FS S , будет численно равна площади прямоугольника со сторонами
Sи FS .
Пример 1. Тело массы m было поднято на некоторую высоту над
поверхностью Земли и отпущено без начальной скорости. Определить работу, которую совершит сила тяжести в процессе свободного падения тела на некотором участке траектории длиной l.
Решение. Так как тело движется прямолинейно, то пройденный им путь l равен модулю вектора перемещения S . В процессе падения на
тело действует постоянная сила F mg , направление которой совпадает с направлением вектора перемещения. Тогда FS mg и искомая
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
6
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
работа (рис. 4) равна A mg S mg l .
Пройдя путь l, тело опустится с некоторой высоты h1 на высоту
h2 h1 l . Тогда работу силы тяжести можно выразить через h1 и h2 :
A mg h1 h2 mgh1 mgh2.
2. Работа переменной силы на криволинейном участке траектории.
На практике чаще встречаются ситуации, когда движение тела не
прямолинейное, а действующая на тело сила F меняется как по модулю, так и по направлению.
Работой переменной силы на криволинейном участке траектории называется алгебраическая сумма элементарных работ, определяемых следующим образом. Разобьѐм траекторию тела на достаточно малые участки (не обязательно одинаковой длины), на которых силу можно с хорошей степенью точности считать постоянной, а сами участки пря-
молинейными (рис. 5). На каждом из таких участков тело совершит ма- |
||||
|
|
|
|
|
лое перемещение |
S , и элементарная работа A силы F |
на этом |
||
перемещении будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A F |
S F S cos . |
(6) |
|
|
|
|
|
|
Теперь для того, чтобы найти работу силы F на всей траектории |
||||
движения тела, надо просуммировать все A , полученные для каждого |
||||
участка S , т. е. |
A A . В рамках обычной школьной программы |
|||
подсчитать такую сумму довольно сложно. Покажем, как найти работу переменной силы в случае прямолинейного движения. Примером может служить прямолинейное движение санок (рис. 6), когда их тянут за верѐвку, меняя как угол наклона верѐвки, так и модуль прикладывае-
мой силы F , работу которой и требуется определить. Это опять-таки удобно сделать с помощью графического метода.
|
|
FS |
|
F |
FS=FS (S) |
||
|
|
|
|
F
FS
S
S
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 5 |
|
|
|
|
Рис. 6 |
Рис. 7 |
|
|
|
|||
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
7
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия |
|
|
||||||
Построим график зависимости FS |
|
|
|
|
|
|||
(проекции силы F на направле- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние вектора перемещения S ) от расстояния |
S , пройденного санками |
|||||||
(рис. 7). Разобьѐм S |
на интервалы |
S столь малые, |
что в пределах |
|||||
каждого из них величину FS можно считать постоянной. Тогда на вся- |
||||||||
ком S работа численно равна площади прямоугольника со сторонами |
||||||||
FS и S, |
и полная работа на пути |
S будет численно равна сумме |
||||||
площадей всех прямоугольников, или, что то же, площади под кривой |
||||||||
|
|
|
FS FS |
S . |
|
|
|
|
Пример 2. Горизонтально расположенная пружина жѐсткости k , |
||||||||
прикреплѐнная одним концом к стене, а другим к грузу, лежащему на |
||||||||
гладком горизонтальном столе, сжата на x см . Найти работу, которую |
||||||||
совершит сила упругости по перемещению груза в процессе перехода |
||||||||
пружины в недеформированное |
|
|
|
|
|
|||
состояние. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Воспользуемся |
|
|
|
|
|
||
графическим методом подсчѐта |
|
|
|
|
|
|||
работы (рис. 8). В первоначаль- |
|
|
|
|
|
|||
ном положении, когда S 0 и |
|
|
|
|
|
|||
пружина сжата на величину x , |
|
|
|
|
|
|||
сила упругости, действующая на |
FS |
|
|
|
|
|||
груз, равна |
k x . Если под дей- |
|
|
|
|
|||
k .x |
|
|
|
|
||||
ствием пружины груз переме- |
|
|
FS =k(x |
S) |
||||
|
|
|
||||||
стился на расстояние |
S , то де- |
|
|
|
|
|
||
формация |
пружины |
уменьши- |
|
|
|
|
|
|
лась на величину S |
и соответ- |
|
|
|
|
|
||
ствующая сила упругости стала |
|
|
|
|
|
|||
равна FS k x S . |
|
|
0 |
|
|
S=x S |
||
Построив |
график |
зависимо- |
|
|
|
|
|
|
сти FS S в соответствии с этим |
|
|
|
Рис. 8 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
выражением, получим прямую, проходящую через точки с координа- |
||||||||
тами 0; kx |
и x; 0 . Искомая работа будет равна площади заштрихо- |
|||||||
ванного треугольника |
1 kx x . Таким образом, |
работа силы упругости |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
деформированной пружины квадратично зависит от величины дефор- |
||||||||
мации x и может быть записана в виде: A |
|
k x2 |
|
|||||
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
упр |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия
3. Мощность силы.
На практике часто бывает полезно знать, как быстро может быть совершена та или иная работа. Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Если
за промежуток времени t сила F , приложенная к телу, совершает элементарную работу A , определяемую формулой (6), то средняя мощность, развиваемая этой силой за данный промежуток времени, по определению есть
N |
A |
. |
(7) |
ср t
Или, учитывая (6) и воспользовавшись свойством скалярного произве-
дения векторов, получим: |
N |
|
|
F S |
|
F S . |
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Устремляя в этом равенстве величину t |
к нулю |
( |
t 0) , получим |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вместо S / t мгновенную скорость |
v тела. Тогда мощность N , раз- |
|||||||||
виваемая силой F в |
данный момент |
времени, |
– мгновенная |
|||||||
мощность, – может быть определена по следующей формуле: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
N F v. |
|
|
|
||||
Таким образом, мгновенная мощность силы |
F |
равна скалярному |
||||||||
произведению вектора силы на вектор скорости |
v |
движения тела, к |
||||||||
которому приложена эта сила, причѐм характер зависимости силы F от времени может быть совершенно произвольным. Единицей измере-
ния мощности в системе СИ служит ватт (Вт): 1Вт 1 Джс .
Пример 3. Мальчик тянет санки по снегу с постоянной силой F 5 H , направленной под углом 30 к горизонту (рис. 6). При этом сани движутся по прямолинейному горизонтальному участку пути и за 1 минуту совершают перемещение S 30 м . Какова мощность
силы, прикладываемой мальчиком?
Решение. По условию задачи нельзя судить об ускоренности или равномерности движения санок (т. к. ничего не сказано о величине силы сопротивления движению со стороны снега). Однако мы можем подсчитать работу A силы F на перемещении S по формуле (2). Эта работа, согласно условию, будет совершена за время t , равное одной минуте. В задаче, таким образом, подразумевается средняя мощ-
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
9
2013-2014 уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия |
|
|
|
||||||||||||
ность, |
развиваемая силой F за промежуток времени |
t . Но тогда по |
|||||||||||||
формуле (7) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
N A F S cos 50H 30 м cos 30 21Вт. |
|||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
60c |
|
|
|
||
|
Пример 4. Камень массы m бросили с поверхности Земли под уг- |
||||||||||||||
лом |
к горизонту с начальной скоростью v0 . Пренебрегая сопротив- |
||||||||||||||
лением воздуха, найти мощность силы тяжести через t |
секунд после |
||||||||||||||
начала движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. Скорость камня через t |
секунд после начала движения |
|||||||||||||
определяется по формуле v v0 gt . |
Поскольку в задаче требуется |
||||||||||||||
определить |
мощность, |
развиваемую |
y |
|
|
|
|
v |
|||||||
силой тяжести в конкретный момент |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
v0 |
m |
||||||||||||
времени (в то мгновение, когда после |
|
|
|||||||||||||
начала движения прошло t секунд), то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
речь идѐт о мгновенной мощности, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
для которой применима формула (8). |
|
|
|
|
|
mg |
|||||||||
Тогда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||||
|
N mg v mg v0 gt |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
x |
||||||||
|
mg v0 mg gt. |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|||||||
Учитывая, что g g g2 |
, получим |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N m g v0 g 2t . |
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|||||||
В нашем случае (рис. 9) угол |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
между векторами |
g |
и v0 равен |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, значит gv0 |
gv0 cos gv0 cos |
2 |
gv0 sin . Тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
N mg gt v0 sin . |
|
|
|
|||||||
|
Отсюда |
|
видно, |
что |
при |
t |
v0 sin |
|
мощность |
N 0 , а при |
|||||
|
|
g |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
v0 sin β |
, |
наоборот, N |
0 . Как и следовало ожидать, мощность силы |
|||||||||||
g |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тяжести отрицательна при подъѐме камня и положительна при его |
|||||||||||||||
падении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Мощность, как и работа, определѐнным образом характеризует силу. |
||||||||||||||
По величине мощности можно судить о быстроте, с которой конкрет- |
|||||||||||||||
ная сила совершает работу. Именно поэтому мы говорим не просто о |
|||||||||||||||
2014, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
10