Бесов

§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций 141

Если x1 6= x2, то можно применить замену x на t, опре-

так что вопрос сводится к нахождению интеграла вида (q = = mn+ 1 − 1)

Z

J = (a + bt)ptqdt (p, q — рациональные).

Этот интеграл в трех случаях (и ни в каких других) сводится к интегралу от рациональной дроби:

Случай 1: p — целое число. Случай 2: q — целое число. Случай 3: p + q — целое число.

В самом деле, в указанных случаях интеграл J имеет вид интеграла, рассмотренного в начале параграфа. В случае 3 это становится ясным после записи J в виде

142Глава 9. Неопределенный интеграл

Вдругих случаях интеграл I не является элементарной функцией, что было доказано П.Л. Чебышевым.

4◦. Интеграл вида

Z

I = R(sin x, cos x) dx

сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой

иногда приводят к нужной цели при менее громоздких вычислениях. Например, интеграл R sinm x cosn x dx (m, n — рациональны) подстановкой u = sin x или u = cos x сводится к интегралу от биномиального дифференциала.

5◦. Некоторые интегралы от трансцендентных функций вычисляются интегрированием по частям:

§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций 143

Из сравнения первой и последней частей равенства получаем

I = eαx(β sin βx + α cos βx) + β2C2 =

α2 + β2

= eαx(β sin βx + α cos βx) + C. α2 + β2

6◦. Как уже упоминалось при интегрировании биномиальных дифференциалов, не все интегралы от элементарных функций являются элементарными функциями. К их числу относятся и

эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода:

Глава 10 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 10.1. Многомерные евклидовы пространства

Определение 1. Пусть n N. n-мерным действительным числовым пространством называется множество всевозможных упорядоченных наборов (x1, . . . , xn) из n действительных чисел:

Rn B {(x1, . . . , xn) : xk R, k = 1, 2, . . . , n}.

Элемент пространства Rn будем называть точкой и сокращенно обозначать через x = (x1, . . . , xn). При этом числа x1, . . . , xn называются координатами точки x.

ВRn можно ввести расстояние между двумя точками x = (x1, . . . , xn) и y = (y1, . . . , yn) по формуле

p

ρ(x, y) = (x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)2. (1)

Определение 2. n-мерное действительное числовое пространство Rn с введенным по формуле (1) расстоянием называется n-мерным евклидовым пространством.

В дальнейшем символом Rn всегда будет обозначаться n-мерное евклидово пространство.

Свойства расстояния (1):

1.◦ ρ(x, y) > 0 x, y Rn; ρ(x, y) = 0 x = y; 2.◦ ρ(x, y) = ρ(y, x) x, y Rn;

3.◦ ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) x, y, z Rn.

Свойства 1◦, 2◦ очевидны. Свойство 3◦, называемое не-

равенством треугольника, будет вскоре установлено.

В Rn можно ввести операции сложения x + y и умножения λx, λ R, аналогично тому, как это сделано при n = 1, 2, 3. Тогда Rn превращается в линейное (векторное) пространство, а точку x Rn называют также вектором.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

XX

|x + y|2 = (xi + yi)2 = |x|2 + 2 xiyi + |y|2.

i=1 i=1

Применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем отсюда, что

|x + y|2 6 |x|2 + 2|x| |y| + |y|2 = (|x| + |y|)2,

откуда и следует утверждение леммы.

Неравенство (3) также называют неравенством тре-

угольника.

Д о к а з а т е л ь с т в о свойства 3◦ расстояния.

Пусть x, y, z Rn, x0 = x − y, y0 = y − z. Тогда x0 + y0 =

= x − z. В силу (3)

|x0 + y0| 6 |x0| + |y0|, т. е. |x − z| 6 |x − y| + |y − z|,

что лишь обозначением отличается от неравенства

ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z).

Понятие расстояния в Rn дает возможность ввести ε- окрестность точки и понятие предельного перехода в Rn.

Определение 3. При ε > 0 ε-окрестностью точки a

Rn называется множество

Uε(a) B {x Rn, |x − a| < ε}.

Uε(a) называют еще шаром, или открытым шаром в Rn

радиуса ε > 0 с центром в точке a.

Определение 4. Точку a Rn называют пределом последовательности {x(m)}∞m=1 точек x(m) Rn, если

lim |x(m) − a| = 0,

m→∞

или, иначе, если для любого ε > 0 существует mε N

такое, что

|x(m) − a| < ε m > mε.

Последнее соотношение можно переписать в виде

Uε(a) m > mε.

Теорема 1. Последовательность {x(m)}∞1 точек из Rn сходится к точке a = Rn тогда и только тогда, когда при каждом k = 1, 2, . . . , n

lim x(km) = ak,

m→∞

где x(km), ak — координаты точек соответственно x(m), a.

Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно, если воспользоваться неравенством

вается ограниченной, если множество ее значений ограничено, т. е. R > 0: |x(m)| < R m N.

Теорема 2 (Больцано–Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {x(m)} — ограниченная последовательность. Тогда при любом k, 1 6 k 6 n, числовая последовательность {x(km)}∞m=1 ограничена. Рассмо-

трим числовую последовательность {x(1m)}∞m=1. По теореме Больцано–Вейерштрасса, существует такая подпоследовательность {m(1)j }∞j=1 последовательности натуральных чи-

(1)

сел, что последовательность {x(1mj )}∞j=1 сходится.

148 Глава 10. Функции многих переменных

(1)

Рассмотрим последовательность {x(2mj )}∞j=1. По теореме Больцано–Вейерштрасса, существует подпоследовательность {m(2)j }∞j=1 последовательности {m(1)j }∞j=1 такая,

(2)

что последовательность {x(2mj )}∞j=1 сходится.

Продолжая это рассуждение, получим n последовательностей натуральных чисел {m(1)j }, {m(2)j }, . . . , {m(jn)}, при-

чем каждая следующая является подпоследовательностью

(k)

предшествующей, и последовательности {x(kmj )}∞j=1 сходятся при k = 1, 2, . . . , n.

(n)

Но тогда сходятся и последовательности {x(kmj )}∞j=1, k = 1, 2, . . . , n, как подпоследовательности сходящихся по-

следовательностей. Следовательно, по теореме 1 последо-

(n)

вательность {x(mj )}∞j=1 сходится, что и требовалось показать.

§ 10.2. Открытые и замкнутые множества

Определение 1. Точка x Rn называется внутренней точкой множества E Rn, если

ε > 0 : Uε(x) E.

Множество E Rn называется открытым, если каждая его точка является внутренней.

Примерами открытых множеств являются E = Rn, E = = .

Лемма 1.Uε(a), a Rn, является открытым множеством в Rn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать, что всякая точка Uε(a) является внутренней. Пусть x Uε(a). Тогда r B |x − a| < ε и δ B ε − r > 0. Достаточно показать, что

Uδ(x) Uε(a), т. е. что всякая точка y из Uδ(x) принадлежит Uε(a). Пусть y Uδ(x), т. е. |y − x| < δ. Тогда в силу неравенства треугольника

|y − a| 6 |y − x| + |x − a| < δ + r = ε,

т. е. y Uε(a), что и требовалось показать. Упражнение 1. Доказать, что 1.◦ пересечение конечного числа открытых множеств

является открытым множеством; 2.◦ объединение любого набора открытых множеств

является открытым множеством.

Определение 2. Всякое открытое множество, содержащее точку x, называется окрестностью точки x и обозначается U(x).

Всилу леммы об открытости Uε(x) ε-окрестность точки x является ее окрестностью. С другой стороны, для всякой окрестности U(x) точки x найдется ε > 0 такое, что Uε(x)

U(x).

Упражнение 2. Сформулировать определение предела

Упражнение 3. Доказать эквивалентность определений 3 и 30.

Определение 4. Множество E Rn называется за-

мкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Примерами замкнутых множеств являются Rn, одното-

чечное множество, , замкнутый шар: {x: |x − a| 6 r} при r > 0, в т.ч. отрезок при n = 1.

Упражнение 4. Доказать, что:

1.◦ объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто;

2.◦ пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто.

Определение 5. Множество

E B E {x : x — предельная точка множества E}

называется замыканием множества E.

Используя символ E, определение замкнутого множества можно сформулировать в виде E = E.

Лемма 2.Замыкание E множества E Rn является замкнутым множеством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E 6= и a — предельная точка множества E. Требуется доказать, что a E. По определению предельной точки

{y(m)} : a 6= y(m) E,

εm B |y(m) − a| → 0 при m → 0.

Покажем, что a — предельная точка множества E (и, следовательно, a E). Построим для этого последовательность

{x(m)} : a 6= x(m) E, |x(m) − a| → 0 при m → ∞.

Если y(m) E, то положим x(m) = y(m). Если y(m) 6 6 E, то y(m) — предельная точка множества E (поскольку y(m) E). В этом случае через x(m) обозначим такую точку