Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3327 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Глава 15 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

§ 15.1. Сходимость числового ряда

Определение 1. Символ

			∞
		a1 + a2 + a3 + . . . или	X	(1)
		a1 + a2 + a3 + . . . или	ak,	(1)
			k=1
где ak		R, называется числовым рядом, ak — его членом, а
где ak	n	R, называется числовым рядом, ak — его членом, а
	n
ряда. kP		ak — n-й частичной (или частной) суммой этого
Sn =		ak — n-й частичной (или частной) суммой этого
	=1

Ряд (1) называется сходящимся (к S), если последовательность {Sn}∞1 его частичных сумм сходится (к S).

В этом случае число S = lim Sn называют суммой ряда
и пишут			n→∞
			∞
			X
	a1 + a2 + . . . = S или			ak = S.
			k=1	∞
				∞
Таким образом, в этом случае под a1 + a2 + . . . ( ak)
понимают также число.				=1
понимают также число.				kP
Если последовательность {Sn}1∞ расходится, то ряд (1)
	∞			∞
	∞		Пишут также	kP
называют расходящимся.			Пишут также	ak = +∞, если
				=1
Sn → +∞, и k=1 ak = −∞, если Sn → −∞ при n → ∞.
Из	определения видно	,	что изучение сходимости и дру		-
Из	P	,			-

гих свойств рядов сводится к изучению или переформулировке соответствующих свойств последовательностей.

Пример 1. Ряд

1 − 1 + 12 − 12 + 13 − 13 + 14 − 14 + . . .

сходится.

262	Глава 15. Числовые ряды

Пример 2. Ряд

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . .

расходится.

Теорема 1. Необходимым условием сходимости ряда является стремление к нулю его общего члена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (1) сходится и сумма его равна S. Тогда

Sn → S, Sn−1 → S при n → ∞.

Следовательно,

an = Sn − Sn−1 → 0 при n → ∞.

Стремление к нулю общего члена ряда, являясь необходимым, не является достаточным условием сходимости

ряда, что можно увидеть на следующем примере.

∞

Пример 3. Ряд P k1 (называемый гармоническим ря-

k=1

дом) расходится. В самом деле,

2n	1 1
X			>
S2n − Sn =		k	>	2n	n = 2 6→0 при n → ∞,
k=1

что противоречит сходимости ряда, в случае которой последовательности {Sn} и {S2n} сходились бы к одному и тому же числу (сумме ряда), а их разность — к нулю.

Теорема 2 (критерий Коши). Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

ε > 0 nε N :	n+p	ak	< ε n > nε, p N.
	X

k=n+1

§ 15.1. Сходимость числового ряда

263

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как

n+p

ak = Sn+p − Sn,

k=n+1

то теорема 2 сразу следует из критерия Коши сходимости последовательностей.

Упражнение 1. Доказать теорему 1 с помощью критерия Коши.

Упражнение 2. Доказать с помощью критерия Коши расходимость гармонического ряда.

Определение 2. Числовой ряд

an+1 + an+2 + . . .	∞	ak!
	k X
	=n+1

называется остатком ряда (1) после n-го члена.

Сходимость ряда (1) равносильна сходимости какоголибо из его остатков, что сразу следует из критерия Коши.

∞	∞	∞
∞	kP	P
Теорема 3. Пусть сходятся ряды		ak и bk. Тогда
kP	=1	k=1
kP	(λak +µbk) и сумма его равна
при λ, µ R сходится ряд	(λak +µbk) и сумма его равна
=1
∞	∞	∞

XX X

(λak + µbk) = λ	ak + µ	bk.
k=1	k=1	k=1

Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из равенства для частичных сумм

XX X

(λak + µbk) = λ	ak + µ	bk
k=1	k=1	k=1

и предельного перехода в нем при n → ∞.

264Глава 15. Числовые ряды

§15.2. Числовые ряды с неотрицательными

членами

Будем изучать числовые ряды вида

∞
X
ak, ak > 0.	(1)

k=1

Теорема 1. Для сходимости ряда (1) необходима и достаточна ограниченность последовательности его частичных сумм.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что последовательность частичных сумм ряда (1) возрастает, так что ее ограниченность эквивалентна ее сходимости.

Теорема 2.	Пусть при некотором k0 0 6 ak		6 bk
k > k0. Тогда		∞
1.◦ сходимость	ряда	P bk влечет сходимость	ряда

k=1

∞

ak;

k=1

∞

2.◦ расходимость ряда P ak влечет расходимость ряда

k=1

∞

bk.

k=1

Д о к а з а т е л ь с т в о.

∞

1.◦ Пусть ряд P bk сходится. Тогда последователь-

k=1

ность его частичных сумм (как сходящаяся или по теореме 1) ограничена. Следовательно, последова-

	∞	∞
	∞	kP
тельность частичных сумм ряда		ak ограничена.
	kP	=1
По теореме 1 ряд	kP
По теореме 1 ряд	ak сходится.
	=1

R +∞

§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами										265
					∞				∞
				kP					∞
2.◦ Если бы ряд						bk сходился, то по доказанному в
					=1				kP
									kP	ak.
	первой части теоремы сходился бы и ряд									ak.
									=1
Следствие 1. Пусть ak									ak	= L
Следствие 1. Пусть ak								> 0, bk > 0, klim→∞ bk		= L
					∞			∞
					P			P
(0, ∞). Тогда ряды k=1 ak,								k=1 bk сходятся или расходятся
одновременно.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
			1		Lbk 6 ak 6 2Lbk k > k0.
		k N :
		k N :		2
Тогда из теоремы 15.1.3 при λ = 0 и теоремы 2 следует,
		∞	∞
что ряды		ak,			bk сходятся или расходятся одновре-
менно.		k=k0	k=k0			,	что сходимость ряда равносильна
	Остается учесть						что сходимость ряда равносильна
		P	P
сходимости какого-либо из его остатков.
Упражнение 1.					Доказать, что если ak				∞> 0, bk > 0,
			∞						kP
ak = O(bk) при k → ∞, то из сходимости ряда									bk следует
			kP						=1
сходимость ряда			kP
сходимость ряда				ak.
			=1

Теорема 3 (интегральный признак сходимости

ряда). Пусть f непрерывна и убывает к нулю на [1, +

∞

+∞). Тогда ряд f(k) и интеграл f(x) dx сходятся

k=1

или расходятся одновременно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства

Z k+1

	f(k) >	f(x) dx > f(k + 1)
получаем, что		k
получаем, что				f(k + 1) = n+1 f(k). (2)
n	f(k) > Z n+1 f(x) dx >		n	f(k + 1) = n+1 f(k). (2)
X			X	X

k=1	1	k=1	k=2

266				Глава 15. Числовые ряды
Поэтому (эквивалентная сходимость ряда							∞
Поэтому (эквивалентная сходимость ряда							f(k)) ограни-
							=1	∞
						kP		∞
ченность последовательности частичных сумм ряда									ak
эквивалентна			ограниченности		последовательности			k=1
эквивалентна			ограниченности		последовательности			инте
								P	-
гралов	n+1 f(x) dx, которая эквивалентна (в силу неотри-
	1					b0
цательности		f)		ограниченности		b0	как функции		b0.
R		f)			R	1 f(x) dx			b0.
					R

Последняя по теореме 14.7.2 эквивалентна сходимости интеграла R1∞ f(x) dx.

Неравенства (2) имеют простой геометрический смысл. Интеграл в (2) равен площади криволинейной трапеции с основанием [1, n + 1], ограниченной сверху графиком функции f.

y
0	1	2	3	n	n + 1	x
				Рис. 15.1

Сумма в левой части (2) равна сумме площадей прямоугольников, покрывающих криволинейную трапецию, а сумма в правой части (2) — сумме площадей прямоуголь-

ников, содержащихся в этой криволинейной трапеции.

∞

Пример 1. Ряд P k1α расходится при α 6 0, т. к. его

k=1

∞

общий член не стремится к нулю. Ряд P k1α сходится при

k=1

α> 1 и расходится при 0 < α 6 1, что в силу интегрального признака следует из сходимости интеграла R1∞ x1α dx при

α> 1 и его расходимости при 0 < α 6 1.

	§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами						267
	∞	1 +	1	расходится при α 6 0,
Пример 2. Ряд k=1 ln
			kα
т. к.	не стремится к нулю				.	Этот ряд схо		-
	его общий член P

дится при α > 1 и расходится при 0 < α 6 1. В самом деле, его сходимость при α > 0 эквивалентна сходимости ряда


∞	1		в силу следствия из теоремы 2, т. к. ln 1 +
P	1			1
k=1		1		1
k=1		kα		kα

kα при α > 0 и k → ∞. Остается сослаться на пример 1.

Упражнение	2.		Пусть числа ak > 0			убывают
	∞
(ak > ak+1) и ряд	kP
(ak > ak+1) и ряд	ak сходится. Доказать, что
	=1	k			при k → ∞.	(3)
ak = o		k			при k → ∞.	(3)
			1
У к а з а н и		е.		Воспользоваться оценкой снизу
разности частичных сумм ряда:
					2n
S2n − Sn =				k X
S2n − Sn =					ak > na2n.
					=n+1

Является ли условие (3) достаточным для сходимости ряда?

Пример 3. Ряд

	∞
	X					(4)
		qk				(4)
	k=0
сходится при 0 < q < 1 и расходится при q > 1.
В самом деле, при 0 < q < 1 qk 6				1	k > k0. Тогда
В самом деле, при 0 < q < 1 qk 6				k2	k > k0. Тогда
дится.	kP	1				P
в силу сходимости ряда	∞		и теоремы 2 ряд			∞ qk схо-
	=1	k2				k=1
	=1					k=1
Если же q > 1, то ряд (4) расходится, т. к.						его общий
член не стремится к нулю.

Заметим, что сходимость ряда (4) можно изучить, записав его частичную сумму по формуле суммы геометри-

268 Глава 15. Числовые ряды

ческой прогрессии:

S =

∞ qk

1 − qn+1

qn+1

, q = 1.

−

− 1

k=0

Теорема 4 (признак Даламбера).

Пусть ak > 0

k N. Тогда

1.◦

если существует число q < 1 такое, что при некото-

ром k0

ak+1

6 q < 1 k > k0,

∞

то ряд

ak сходится;

2.◦

k=1

если

при некотором

ak+1

> 1

k > k0,

∞

ak расходится.

то ряд

1◦. При k > k0 из ak+1 6 qak

Д о к а з а т е л ь с т в о.

следует, что

ak 6 qk−k0 ak0 = c0qk C bk.

∞

Тогда сходимость ряда

ak следует в силу признака

сравнения (теорема 2)

k=1

(4).

из

сходимости ряда

2◦.

Из ak+1 > ak

> 0 следует,

что общий член ряда

∞

Следовательно, ряд

ak не стремится к нулю.

ak рас-

k=1

ходится

Теорема 5 (признак Даламбера). Пусть ak > 0

k N и существует

lim ak+1 = q.

k→∞ ak

Тогда

∞

1.◦ если q < 1, то ряд P ak сходится;

k=1

§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами

269

∞

2.◦

kP ∞

расходится;

если q > 1, то ряд

3.◦

если q

= 1,

то ряд

ak может быть как сходя-

k=1

щимся,

так и

расходящимся

P .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦.

Пусть ε > 0, q0 B q + ε <

< 1. Тогда ak+1 6 q0ak k > kε. По теореме 4 ряд

∞

сходится.

2◦. Пусть q > 1.

Тогда ak > 1 k > k0. По теореме 4

∞

ряд

ak расходится.

kPα

3◦.

Для ряда

∞

, α > 0, выполнено условие

ak+1

→ 1 (k → ∞).

(k + 1)α

1 + k1 α

— сходится.

Однако при

0 < α 6 1

ряд

∞

расходится, а при α > 1

kα

Пример 4.

Для ряда

∞ a , a

имеем ak+1 =

k k

−k

1 + k

→ e−

< 1 при k → ∞. Следова-

(k + 1)

тельно ряд сходится

Теорема 6 (признак Коши). Пусть ak > 0 k N.

Тогда

1.◦

если существует число q < 1 такое, что при некото-

ром k0 N

√

6 q < 1 k > k0,

то ряд

∞

ak сходится;

2.◦

если

k0 N k > k0

√

> 1,

270

Глава 15. Числовые ряды

∞

то ряд

и даже его общий член не

ak расходится,

k=1

стремится к нулю

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1◦.

В силу сходимости ряда

∞

(

2).

∞

и оценки ak

( k

сходится по

k=1 q

6 q

> k0) ряд k=1 ak

признаку сравнения теорема

мится к

∞

ak расходится, т. к. его общий член не стре-

2◦. Ряд

k=1

нулю

Предельная форма признака Коши имеет вид

Теорема 7 (признак Коши). Пусть ak > 0 k N и

√

= q.

lim

k→∞

Тогда

∞

1.◦

если q < 1, то ряд

kP ∞

сходится;

2.◦

если q > 1,

то ряд

ak расходится, и даже его

k=1

общий член не

стремится к нулю

;

3.◦

если q

= 1,

то ряд

∞

ak может быть как сходя-

k=1

щимся,

так и

расходящимся

Следствие 2. Утверждение теоремы 7 сохранится,

если в ней условие

√

= q заменить на условие

lim

k→∞

√

lim

= q.

→∞

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы 7. 1◦. Пусть q < q0 <

Тогда k0: √

∞

< 1.

6 q0 < 1 k > k0. Ряд

ak сходится

по теореме 6.

2◦. Из определения верхнего предела следует, что

k0 : k > k0 :

√

> 1.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3327 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.05.2019246.78 Кб5Анализ понятия Информация - метафоры и трактовк...doc
#
03.06.20156.24 Mб229Анатолий Маркович Маркуша ВАМ ВЗЛЕТ.pdf
#
03.06.2015119.78 Кб22Базы_данных.pdf
#
03.06.2015559.1 Кб5Без имени 1.doc
#
27.03.20161.14 Mб2998Беклемишев-Решения_задач.pdf
#
03.06.20151.35 Mб90Бесов.pdf
#
03.06.2015163.84 Кб21Билет 1.doc
#
14.09.2019210.43 Кб2Билет3(Внешняя память).doc
#
19.09.201988.58 Кб2Билет_10.doc
#
26.09.2019890.02 Кб21БИЛЕТЫ К ГОСУ(МАТЕМАТИКА).docx
#
03.06.20155.78 Mб14Бомбы 2006 by @rav.pdf