Бесов

aa0→a+0 a0

если этот предел существует, и что несобственный инте-

ac

где c — какое-нибудь число интервала (a, b) (a < c < b).

Если же хотя бы один из интегралов (6) расходится, говорят, что интеграл Rab f(x) dx расходится.

Сходимость интегралов (6) не зависит от выбора c(a, b) (это установлено для второго из них и аналогично может быть показано для первого). Правая часть (7) также не зависит от выбора c, что следует при a < c < c < b из равенства для определенных интегралов:

З а м е ч а н и е. Равенство (7) можно записать в

aa0→a+0 a0 b0→b−0

где стоящий справа предел является пределом функции двух переменных.

Дадим теперь определение несобственного интеграла с несколькими особенностями.

Определение 5. Пусть функция f определена на интервале (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞ с выколотыми точками c1, . . . , ck−1, a = c0 < c1 < . . . < ck−1 < ck = b. Пусть f интегрируема по Риману на каждом отрезке из (a, b), не

если каждый из стоящих справа несобственных интегралов

сособенностями в концах интервала (ci−1, ci) сходится. В противном случае говорят, что интеграл Rab f(x) dx расходится.

Мы изучали до сих пор свойства лишь несобственного интеграла (1). Эти свойства, как видно из определений 3, 4, 5, легко переносятся на несобственные интегралы

сособенностью на нижнем пределе и на несобственные интегралы с несколькими особенностями.

Упражнение. Пусть (a, b) (−∞, +∞) и сходится

несобственный интеграл Rab f(x) dx с несколькими особенностями.

Доказать, что при x0 (a, b) функция F (x) = R x f(t) dt

x0

равномерно непрерывна на (a, b).

Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть

1.◦ функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную на [a, +∞);

2.◦ функция g непрерывно дифференцируема и моно-

тонна на [a, +∞);

3.◦ g(x) → 0 при x → +∞.

Тогда интеграл (8) сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F — первообразная для f. Интегрируя по частям произведение fg на отрезке [a, b], имеем

делу при b → +∞. Вычитаемое стремится к абсолютно

к пределу при b → +∞. Это и означает, что интеграл (8) сходится.

Теорема 6 (признак Абеля). Пусть

1.◦ функция f непрерывна на [a, +∞) и сходится интеграл Ra∞ f(x) dx;

2.◦ функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна на [a, +∞);

Тогда интеграл (8) сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что признак Абеля вытекает из признака Дирихле.

Заметим сначала, что функция f имеет на [a, b) перво-

рывно дифференцируема и монотонна на [a, ∞) и g˜(x) → 0 при x → +∞. Поэтому интеграл

Z ∞ Z b Z +∞

f(x)g(x) dx = f(x)˜g(x) dx + cf(x) dx

a a a

сходится как сумма двух сходящихся интегралов (первый из них — по признаку Дирихле, а второй — по условию

мости применим признак Дирихле, положив f(x) = sin x,

Дирихле было применено интегрирование по частям. Этот прием в данном случае, как говорят, «улучшает сходимость интеграла». С его помощью в случае только что рассмо-

стремится к нулю. В общем же случае доказательства признака Дирихле вместо сходящегося интеграла получили абсолютно сходящийся.

§ 14.8. Приближение интегрируемых функций ступенчатыми и непрерывными

Определение 1. Функция h: [a, b] → R называется

ступенчатой (кусочно постоянной) на [a, b], если суще-

ствует разбиение {ai}k0, a = a0 < a1 < . . . < ak = b такое, что f постоянна на каждом интервале (ai−1, ai).

Ступенчатые функции кусочно непрерывны и, следовательно, интегрируемы на [a, b].

258 Глава 14. Определенный интеграл

Теоремы 1, 2 обобщаются на случай функций f, интегрируемых в несобственном смысле.

Определение 2. Пусть −∞ 6 a < b 6 +∞. Функция f

называется абсолютно интегрируемой на интервале (a, b),

если существует конечное число точек {ci}, a = c0 < c1 < < . . . < ck = b таких, что

1.◦ функция f интегрируема по Риману на каждом отрезке [α, β] (a, b), не содержащем точек ci;

2.◦ сходится несобственный интеграл Rab |f(x)| dx, понимаемый как несобственный интеграл с особенностями в точках c0, c1, . . . , ck.

Заметим, что в силу теоремы 14.7.4 определение 2 останется эквивалентным, если условие 1◦ заменить условием сходимости интеграла Rab f(x) dx.

Определение 3. Функция f: (−∞, +∞) → R назы-

вается финитной, если она равна нулю вне некоторого отрезка.

Определение 4. Функция h: (−∞, +∞) → R называется финитной ступенчатой функцией, если существует такой отрезок [a, b], что h — ступенчатая функция на [a, b]

и h = 0 вне [a, b].

Теорема 3. Пусть f абсолютно интегрируема на (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞. Тогда для любого ε > 0 существует финитная ступенчатая функция h такая, что

Z b

|f(x) − h(x)| dx < ε.

a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем считать, что (a, b) = (−∞, +∞). В самом деле, если это не так, то функцию f можно доопределить нулем вне интервала (a, b), после чего она станет абсолютно интегрируемой на (−∞, +∞).

= +∞, и функция f интегрируема по Риману на каждом отрезке, не содержащем точек ci. Из сходимости интеграла

6|f(x)−fε(x)| dx+ |fε(x)−hε(x)| dx < ε+ε = 2ε.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть f абсолютно интегрируема на (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞.Тогда для любого ε > 0 суще-

a

Д о к а з а т е л ь с т в о предоставляется читателю.

Теорема 4. Каждая абсолютно интегрируемая на (−∞, +∞) функция является непрерывной в среднем относительно сдвига, т. е. обладает свойством

Z +∞

η→0 −∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞). Зададим произвольно ε > 0. Тогда существует финитная непрерывная функция ϕ, для которой при (a, b) = (−∞, +∞) выполняется (5). Пусть ϕ = 0 вне отрезка [A, B]. По теореме Кантора, она равномерно непрерывна на отрезке [A − 1, B + 1], а значит, и на (−∞, +∞). Следовательно, существует ηε (0, 1) такое, что

ε

|ϕ(x + η) − ϕ(x)| < B − A + 2 η : |η| 6 ηε.

Отсюда и из (5) следует, что при |η| 6 ηε

+|ϕ(x+η)−ϕ(x)| dx+ |f(x)−ϕ(x)| dx < ε+ε+ε = 3ε.

Это означает, что f непрерывна в среднем относительно сдвига.

Упражнение 1. Доказать теорему 4, опираясь на возможность приближения функции f финитной ступенчатой функцией h и легко проверяемую непрерывность в среднем относительно сдвига функции h.