Бесов

в одномерном случае, (n = 1) оно является достаточным условием взаимной однозначности отображения (см. теорему об обратной функции на интервале). В одномерном случае отображение y = x2 интервала G = (−1, 1) с производной y0(0) = 0 не является взаимно однозначным.

В многомерном случае (n > 2) отличие от нуля якобиана отображения не гарантирует взаимной однозначности, как

(

(r0, ϕ0) G можно указать, очевидно, достаточно маленькую (шаровую) окрестность Uδ(r0, ϕ0), сужение отображения на которую является взаимно однозначным.

Ниже будет установлена теорема 3, показывающая, что это свойство является общим.

Теорема 2. Пусть открытое множество G Rn, отображение f: G → Rn непрерывно дифференцируемо на G и якобиан его J 6= 0 на G.

Тогда f(G) — открытое множество в Rn.

Теорема 3 (о локальной обратимости отображе-

ния). Пусть в условиях теоремы 2 x(0) G, y(0) = f(x(0)). Тогда существуют окрестности U(x(0)), U(y(0)), для которых:

1.◦ f осуществляет взаимно однозначное отображение

U(x(0)) ↔ U(y(0));

2.◦ якобиан отображения, обратного к f: U(x(0)) → → U(y(0)), отличен от нуля на U(y(0)).

Поясним, что если отображение f: G → D является взаимно однозначным, G ↔ D, то обратное отображение

202 Глава 12. Неявные функции

f−1: D ↔ G определяется следующим образом: f−1(y) = x,

если f(x) = y (y D, x G).

где g(y) = (g1(y), . . . , gn(y)), а отображение g : U(y(0)) → V (x(0)) G

непрерывно дифференцируемо на U(y(0)). Следовательно,

U(y(0)) f(G),

так что y(0) — внутренняя точка f(G). Поскольку в качестве y(0) можно взять любую точку f(G), множество f(G) является открытым. Теорема 2 доказана.

Продолжим доказательство теоремы 3. Обозначим через fV сужение f на V (x(0)), Очевидно, что (4) сохраняется

при замене f на fV , так что

fV (x(0)) = y(0), fV (V (x(0))) U(y(0)).

Рассмотрим множество

U(x(0)) B fV−1(U(y(0))),

содержащее, очевидно, точку x(0) и открытое в силу теоремы 1, т. е. являющееся окрестностью точки x(0). Ясно,

Глава 13 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этой главе изучаются числовые функции многих пере-

менных, определенных на некоторой окрестности U(x(0))

Rn.

§ 13.1. Локальный экстремум

Определение 1. Пусть функция f определена на некоторой окрестности точки x(0). Точка x(0) называется точ-

кой (локального) минимума функции f, если

Если же вместо нестрогого неравенства можно написать строгое, то x(0) называется точкой строгого (локального)

минимума функции f.

Аналогично определяются и точки (локального) максимума и строгого (локального) максимума функции f.

Точки минимума и точки максимума функции называ-

ются ее точками экстремума.

Аналогично определяются точки строгого экстремума функции.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума).

Пусть функция f имеет в точке экстремума x(0) частную

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности, i =

=1. Рассмотрим функцию ϕ одного переменного x1 ϕ(x1) B f(x1, x(0)2 , . . . , x(0)n ). Она имеет, очевидно, экс-

тремум в точке x(0)1 . Тогда по теореме Ферма

Определение 2. Точка x(0) называется стационарной точкой функции f, если f дифференцируема в точке x(0) и df(x(0)) = 0.

Следствием теоремы 1 является

Теорема 2 (необходимые условия экстремума).

Пусть функция f имеет экстремум в точке x(0). Если она дифференцируема в точке x(0), то x(0) — стационарная точка функции f.

Стационарная точка функции не обязательно является ее точкой экстремума, что можно увидеть даже на примере функции одной переменной.

Достаточные условия наличия и отсутствия экстремума в стационарной точке можно сформулировать в терминах вторых производных.

Напомним в связи с этим некоторые сведения из алгебры.

Квадратичная форма

i,j=1

(aij = aji при i, j = 1, . . . , n) называется

6 ~

а) положительно определенной, если A(ξ) > 0 ξ = 0,

6 ~

б) отрицательно определенной, если A(ξ) < 0 ξ = 0,

в) определенной, если она положительно определённа, или отрицательно определённа, г) неопределенной, если она принимает как положитель-

ные, так и отрицательные значения.

Лемма 1. Пусть квадратичная форма A(ξ) (1) положи-

206 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

Д о к а з а т е л ь с т в о. При |ξ| = 0 (2) очевидно. При

|ξ| > 0, деля обе части (2) на |ξ|2 и полагая η = |ξξ|, сводим доказательство (2) к доказательству неравенства

µ B min A(η) > 0.

η Rn,

|η|=1

Последнее вытекает из теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что непрерывная функция (A(η)) на компакте (на единичной сфере S B {η Rn: |η| = 1}) достигает (в некоторой точке η S) своего наименьшего значения (µ =

=A(η ) > 0).

Вдальнейшем неравенство (2) будет использовано лишь при |ξ| = 1.

Для нас будут важны свойства второго дифференциала функции f

представляющего собой квадратичную форму d2f(x(0)) = A(dx) = A(dx1, . . . , dxn)

переменных dx1, . . . , dxn.

Теорема 3 (достаточные условия строгого экс-

тремума). Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки

x(0) Rn.

Пусть второй дифференциал d2f(x(0)) функции f в точке x(0) (3) является положительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формой. Тогда x(0)

— точка строгого минимума (строгого максимума) функции f.

Если же квадратичная форма d2f(x(0)) является неопределенной, то в точке x(0) нет экстремума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Напишем разложение функции f по формуле Тейлора в окрестности стационарной точки x(0) с остаточным членом в форме Пеано (11.6.3):

i,j=1

(4)

Пусть сначала d2f(x(0)) (3) является положительно определенной формой. Тогда из последнего равенства в силу леммы 1 следует, что

Последнее означает, что x(0) является точкой строгого минимума функции f.

Аналогичным образом доказывается, что если в формуле (3) d2f(x(0)) является отрицательно определенной квадратичной формой, то x(0) — точка строгого максимума функции f.

208 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

Пусть теперь квадратичная форма d2f(x(0)) (3) является неопределенной квадратичной формой. Это значит, что существуют две точки ξ0, ξ00 Rn такие, что A(ξ0) < 0,

α = A(η0) < 0, β = A(η00) > 0, |η0| = 1, |η00| = 1.

Пусть x = tη0, | x| = t (t > 0). Тогда из (4) имеем

при всех достаточно малых t = | x|.

Если же взять x = tη00 (t > 0), то аналогично получаем, что

при всех достаточно малых t = | x|.

Мы видим, что в любой сколь угодно малой окрестности U(x(0)) разность f(x) − f(x(0)), x U(x(0)), принимает

как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, точка x(0) не является точкой экстремума функции f.

Следствие (необходимые условия экстремума).

Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки x(0) Rn. Если функция f имеет экстремум в точке x(0), то либо d2f(x(0)) > 0 dx Rn, либо d2f(x(0)) 6 0 dx Rn.

З а м е ч а н и е. Если квадратичная форма

d2f(x(0)) (3) в стационарной точке x(0) функции f является

полуопределенной (т. е. d2f(x(0)) > 0 либо d2f(x(0)) 6 0),

но не является определенной, то для изучения вопроса об экстремуме функции в точке x(0) можно использовать ее разложение по формуле Тейлора более высокой точности, как это делалось в случае функции одной переменной.

Для выяснения, является или нет данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной, часто используют

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Квадратичная форма (1) положительно определённа тогда и только тогда, когда

a11 . . . a1n

Очевидно, что квадратичная форма A(ξ) (1) отрицательно определённа тогда и только тогда, когда квадратичная форма −A(ξ) положительно определённа. Следовательно, критерием отрицательной определенности формы (1) является условие

(−1)k k > 0 k = 1, 2, . . . , n.

Сформулируем отдельно случай теоремы 3, относящийся к функции двух переменных.

Теорема 4. Пусть функция f двух переменных дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки (x0, y0), так что

fx0 (x0, y0) = fy0 (x0, y0) = 0.

а) Если в (x0, y0)

fxx00 fyy00 − fxy00 2 > 0,

то точка (x0, y0) является точкой строгого экстремума (строгого минимума при fxx00 (x0, y0) > 0, строгого макси-

210 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

мума при fxx00 (x0, y0) < 0). б) Если в (x0, y0)

fxx00 fyy00 − fxy00 2 < 0,

то экстремума в точке (x0, y0) нет. в) Если в (x0, y0)

fxx00 fyy00 − fxy00 2 = 0,

то экстремум в точке (x0, y0) может быть, а может и не быть.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Следует из критерия Силь-

вестра, т. к. 1 > 0 (Δ1 < 0), 2 > 0.

б) Подставляя во второй дифференциал

лучаем в скобках квадратный трехчлен относительно t с отрицательным дискриминантом. Поэтому его значение может быть при различных t как положительным, так и

d2f(x0, y0) = 2fxy00 (x0, y0)t dx2

dy=t dx

принимает различные по знаку значения при различных по знаку значениях t1 = 1, t2 = −1. Так что и в этом случае квадратичная форма (5) является неопределенной.

В силу теоремы 3 получаем, что в точке (x0, y0) нет экстремума.

в) Достаточно рассмотреть два примера функций, определенных в окрестности точки (x0, y0) = (0, 0) формулами

f(x, y) = x4y4, g(x, y) = x4 − y4.