Пособие по формулам Тейлора

5.1.

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n (¡1)k¡1¢2k

2k

+ o³(x ¡ 5)

2n+1

´:

1 : 1n+ k=1 3k¢k¢ln 3

(x ¡ 5)

2 : k=0

5 ¢k!

5

(x ¡ 2)

3k

+ o³(x ¡ 2)

´

:

nP1

P8 lnk

3n+2

2

2k

¡

1

2k+1

2n

¡

x

+ o x

:

3 :

(2k)!

=1

³(¡1) ¡

+ 21k ´

k

+ o³(x + 1)

´:

4 : (x + 1) ln 2 + k=1

kP

n¡1

¡

¢ k

1

(x+1)2k+1

2n

P

¡

P

¢

¢

( 1)k¡1p

+ o³

¡n 2

´:

n¡1

2

¼

2k+2

¼

2n+1

5 : k=0

¡(2k+1)!

x +

4

x +

4

+ o((x ¡ 2)n) :

kP

2

3

4

¡

(3k

¡

2)(3k

5)

¢

:::

1

k+2

+

6 : (x ¡ 2) +(x ¡ 2)

+2 (x ¡ 2) +

k!¡

¢

(x ¡ 2)

=3

P2n

1)k22k¡2 sin 1

n

(

2k

1

( 1)k

22k¡1 cos 1

2k

7 : cos 1+k=1

³

¡

(2k¡1)!

(x + 2)

¡

+

¡

(2k)!

(x + 2)

´+

+ o³n(x +2k 2

´

2k 1

2k 1

2k

2n

kn

³

2)

:

´

³

´

¡ ch 1

¡ +

¡ sh 1

8 :

2

(x ¡ 3)

2

(x ¡ 3)

+o

(x ¡ 3)

:

k

=1

³

(2k¡1)!

(2k)!

³¡

n

¡

¢

¡

¢

´

¢

´

9 :

P

k+1

2k

+

24¢4

k

2k+1

+ o x

2n+1

44

¢k!

x

¡

1

x

¡

1

¡

1

:

=0

e

2

e ¢k!

2

2

10 : k=0 ³

e¡¢k!

(x + 3) +

(x + 3)

´ + o³(x + 3)

´:

e¢k!

nP1

2

4k

1

4k+1

4n+3

P

nP1

11 :

¡ k (x ¡ 2)k+1 + o((x ¡ 2)n) :

k=0

+ o³(x ¡ 1)

´:

12 : k=0k (nx ¡ 1)

¡

2k+1

2n

5P

k

1

k

n

13 :

2n+ k=1 ³(¡1) ¡

´(x + 1) + o((x + 1)

) :

2k+1

kn

³

k

1

´

k

n

P

14 :

(¡1)

+

(x + 1)

+ o((x + 1) ) :

=0

2k¡1

n

´

k=0

³¡

¡

´

k

³

15 :

P

(x + 1)3k

(x + 1)3k+1

+ o (x + 1)3n+2 :

P

1

(x + 1)+

(¡1) (k+1)

(x + 1)

k

+o((x + 1)

n

) :

16 : ln 2+ ln 2 +

2

=2 2

k

¢k(k¡1)

¡

¢

1

kP

2

n (¡1)k(2k¡1)

2k

17 : ¡ ln 4 + ln 2 ¡

4

(x ¡ 1)

+

=2 4k¢k(k¡1)

(x ¡ 1)

+

2n+1

¡

¢

kP

+ o³(x ¡ 1)

´:

n 1

k 1

2k+1

³

2n

´

1

1

kn

1

1

¡

(10k+3)

18 : ln

5

¢ x ¡

2

+

=1

(4k2¡1)4k ln 5

x ¡ 2

¢

+ o

x ¡

2

2¢k

:

¼

2n+1

kP

¡

¢¡

¢

¡

2

¢

P( 1) ¡

22k¡3

¡

2

2

¡

¼

19 : ¡

¼

+

¡

4k

¡ 2k + ¼

x ¡

+

4

=2

(2k)!

2

+ o³ x ¡ 2

´: n

( 1)k¼2k 2

¡

¢

2k 1

+ o³(x + 1)2n´:

kP

¡

¡

2

2

¡

¡

2

¢

¡ 10k + 5¼

20 : ¡ ¼

(x + 1) + =2 22k¡2(2k)!

20k

(x + 1)

+

1

5

2

n (2k¡5)!!

k

21 : 1 + 2 (x + 1) ¡

8

(x + 1) ¡

=3 2k¢k!

(4k ¡ 3) (x + 1) +

+ o((x + 1)n) :

k!

¡

n

kP

³

¡

´

¡

k=1

¡k 2

22 :

8 +

n

2 lnk¡1

2

(k 4 ln 2) (x 2)

2k

+ o (x 2)

2n+1

:

¡

+ o((x ¡ 3)n) :

n

kP

¢

P

(

2) ¡

k

23 : ¡ 9 + 18 (x ¡ 3) +

=2

¡ k!

k2 ¡ k ¡ 36 (x ¡ 3) +

n 1

2kkP1

22k¡3

¡

¢

¡

¢

2

2

2k

2n+1

24 : ¡ 3 + 2x + =2 (2k)!

4k

¡ 2k ¡ 12 x

+ o x

:

2

¡

2

¡

2

2k+1

2n

25 : 8x

+ k=1

16 ¡ 4k

¡ 4k

x

+ o x

:

(2k+1)!

¡

¢

¼P2n+1

¡

¢

1

n

( 1)k(1¡¡2k)

¼

2k¢

(

1)k+1(2¡k)

¢

¼

2k+1

P

26 :

p

+ k=1 ³

¡p

x + 4

+

¡p

x +

4

´ +

2

2(2k)!

2(2k+1)!

27 :

¡

¢