umf

Замечание. Возьмём точку P Rn, такую, что v(P ) =6 0. В окрестности такой точки траектории поля v ведут себя как семейство параллельных прямых, и по теореме о выпрямлении векторного поля мы можем сделать такую замену координат, что они и превратятся в семейство параллельных прямых: в этих координатах будет v = (1, 0, . . . , 0). Если эти координаты z1, . . . , zn, то u = F (z2, . . . , zn) как раз даст произвольное решение уравнения ( ) (F произвольная функция). Правда, придётся выразить координаты z через координаты x.

А если всё-таки получать решение в исходных координатах x? Тогда нам по-прежнему требуются функции, постоянные вдоль траекторий. Любая их комбинация также будет постоянной вдоль траекторий, а значит, являться решением уравнения (по доказанному утверждению). А функция, постоянная вдоль траектории, это, собственно, первый интеграл. Так что если f1(x), . . . , fn−1(x) функционально независимые первые интегралы уравнения характеристики (x˙ = v), то есть f˙k(x(t)) = 0, а F произвольная функция, то u = F (f1(x), . . . , fn−1(x)) будет являться общим решением уравнения ( ).

Как видно, общее решение зависит от одной неизвестной функции. Здесь видна аналогия с обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, в общее решение которых всегда входила одна неизвестная константа. И бороться с этой неопределённостью можно так же, как и в случае ОДУ: путём задания начальных условий. К уравнению вида ( ) необходимо добавить условие, что на некотором многообразии функция имеет определённый вид.

Простейший пример.

(

∂u = 0 ∂x1

u|x1=0 = ϕ(x2, . . . , xn)

Здесь ϕ это какая-то заданная функция, x1 = 0 то самое многообразие, на котором задано начальное условие, а u, соответственно, искомая функция. Как видно из первого уравнения, функции-коэффициенты vj все равны 0, кроме v1 = 1. Запишем характеристическую систему:

x˙ 1 = 1

x˙ 2 = 0

.

..

x˙ n = 0

При таком раскладе у этой системы первыми интегралами (и притом независимыми) будут как раз x2, . . . , xn. (Ведь первый интеграл это как раз такая комбинация неизвестных, производная от которой равна нулю. А в системе ровно это и написано.) Тогда u = F (x2, . . . , xn). На многообразии x1 = 0 должно быть u = ϕ(x2 . . . , xn). Значит, попросту F = ϕ, и всюду u = ϕ(x2, . . . , xn).

Теперь определение.

Рассмотрим многообразие (поверхность) M Rn, dim M = n − 1.

Определение. Задачей Коши для ( ) называется задача отыскания функции u(x), такой, что u(x) удовлетворяет ( ), и u(x)|M = u0 заданная гладкая функция.

Всегда ли у задачи Коши существует решение и как его найти? Воспользуемся геометрическими соображениями. Выпустим из каждой точки многообразия M траекторию поля v (характеристику). Так как u вдоль траекторий постоянно, то на каждой траектории значение u полагается равным значению u0 в той точке на M, откуда эта траектория выпущена. Собственно, осталось параметризовать M как-нибудь, и добавить ещё одну координату вдоль траектории (всего получится n координат).

Помешать нам проделать все эти операции может только одно обстоятельство: если где-то траектория будет касаться M. Тогда решения не будет u должна быть постоянна вдоль траектории, а на M задана u0: кто знает, как она там себя ведёт, никаких гарантий постоянства уж точно нет.

Определение. Точка P M называется нехарактеристической, если v(P ) / TP M, то есть если проходящий через неё отрезок траектории не лежит в касательном пространстве (а, наоборот, торчит куда-то в сторону).

Замечание. Точки из некоторой окрестности любой нехарактеристической точки P тоже нехарактеристические. (Скажем, в P у v(P ) есть какая-то ненулевая нормальная компонента, и тогда в силу непрерывности она и в окрестности ненулевая, согласно теореме об устойчивости знака непрерывной функции, доказывавшейся в курсе матанализа.)

Теорема. Пусть P нехарактеристическая точка. Тогда в окрестности точки P задача Коши для ( ) имеет единственное решение.

Доказательство. Итак, параметризуем поверхность M, то есть введём на M координаты: уравнение M будет выглядеть как x = r(y). (y = (y1, . . . , yn−1) как раз и будут координаты на M.) И добавим ещё одну координату t вдоль траекторий, которые мы выпускаем из каждой точки M в окружающее пространство Rn. (Мы это можем сделать, так как все рассматриваемые нами точки из окрестности точки P замечательным

4 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка

образом нехарактеристические.) Для траекторий имеем систему:

x˙ = v(x) x(0) = r(y)

Таким образом, здесь есть неизвестная n-мерная функция x(t) и заданные зависимости r(y), v(x), а также параметры y1, y2, . . . , yn−1. Это система обыкновенных дифференциальных уравнений (при этом все функции, как мы уговорились, гладкие). В окрестности точки P у неё должно быть бесконечно дифференцируемое решение x = x(t) = X(t, y). При t = 0 (в частности, в точке P ) оно существует гарантированно (и равно r(y)), а чтобы доказать, что оно и при каких-то ещё t существует (то есть в окрестности точки P ), снова воспользуемся теоремой о спрямлении векторного поля; из неё следует, что для этого должен быть не равен нулю

в касательной (к этому многообразию) плоскости TP M базис, а v в TP M как раз не лежит (поскольку P нехарактеристическая точка). Значит, они действительно линейно независимы, и решение указанной системы действительно существует в окрестности точки P . Заодно по теореме об обратной функции мы можем выра-

|

Решение сразу видно: раз при t = 0 u = u0(y), и u с изменением t не меняется, то и при любых t имеем u = u0(y) = u0(y(x)).

Откуда взялась эта u0(y)? Нам были известны значения функции u на многообразии M, а y это координаты на этом самом многообразии. Проблема состояла ровно в том, чтобы найти связь между x и y.

Итог.

1) Общее решение. Пишем характеристическую систему уравнений x˙ = v, ищем независимые первые интегралы f1(x), . . . , fn−1(x), и тогда u = F (f1(x), . . . , fn−1(x)) общее решение (F произвольная функция).

2) Задача Коши. Решаем систему x˙ = v, x(0) = r(y) с y как параметрами, находим x, выражаем y(x), и тогда решение задачи Коши: u(x) = u0(y(x)).

У нас теперь все теоремы будут примерно об этом же что в окрестности нехарактеристической точки задача Коши имеет единственное решение. Только каждый раз будет своё определение задачи Коши и нехарактеристической точки.

1.2Квазилинейные уравнения

Здесь терминология и обозначения очень похожи на терминологию и обозначения из предыдущего раздела, однако путать их не следует.

Определение. Квазилинейное уравнение в частных производных это уравнение вида

Здесь aj (x, u), b(x, u) заданные функции.

Чем здесь ситуация хуже, чем в случае линейных уравнений? Мы уже не можем сказать, что aj это векторное поле в Rn, поскольку к n координатам добавилась ещё одна, соответствующая последнему аргументу (назовём его w, чтобы показать, что в пространстве Rn(x,w+1 ) у нас n + 1 независимая координата, и

w вовсе не обязательно имеет какое-то отношение к неизвестной функции u(x)).

Зато если v(x, w) = (a1(x, w), . . . , an(x, w), b(x, w)), то v векторное поле в Rn(x,w+1 ), и каждой системе вида ( ) однозначное соответствует поле v.

Характеристиками, соответственно, называются траектории этого поля, то есть решения системы:

Здесь уже нельзя сказать, что u постоянна вдоль траекторий. Поэтому делаем так. Пусть u(x) произвольная гладкая функция, а многообразие (поверхность) M её график в Rn(x,w+1 ) (то есть M задаётся уравнением w = u(x)).

Утверждение. u(x) удовлетворяет ( ) тогда и только тогда, когда P M v(P ) TP M.

Доказательство. Итак, уравнение этой поверхности: Φ(x, w) = u(x)−w = 0. Утверждение, что некоторый вектор лежит в касательном пространстве к поверхности, равносильно тому, что форма dΦ зануляет этот вектор.

Последнее равенство и есть уравнение ( ).

Отступление. Инвариантные поверхности векторных полей.

Пусть у нас есть какое-то пространство Rm и векторы z из него. Далее, пусть имеется векторное поле v(z) и k-мерная поверхность M.

Определение. Поверхность M инвариантна относительно векторного поля v, если P M v(P ) TP M. Как видно, предыдущее утверждение можно переформулировать так: u(x) удовлетворяет ( ) тогда и только тогда, когда поверхность, задаваемая уравнением w = u(x), инвариантна относительно поля v(x, w).

Так вот. Что можно сказать про инвариантные поверхности?

Утверждение. Пусть M инвариантная поверхность. Тогда вместе с любой своей точкой M содержит и отрезок траектории поля v, проходящий через эту точку.

Доказательство. M задаётся уравнениями:

Φ1(z) = 0

· · ·

Φm−k(z) = 0

Кроме того, так как M инвариантна относительно v, то все dΦj (v) = 0. Рассмотрим траектории z(t). Это, по определению, решения уравнения z˙ = v(z). Посмотрим, как на траектории изменяются функции Φj (z(t)).

dtd Φj (z(t)) = dΦj (dz/dt) = dΦj (v) = 0

Итак, вдоль траекторий значение Φj не изменяется. В точке P все Φj равны нулю (поскольку P M). Значит, и дальше на траектории значения Φj равны нулю, а стало быть, точки траектории лежат в M.

Теперь. Пусть имеется Rm, поверхность k−1 Rm и гладкое векторное поле v(z). Определение. Точка P нехарактеристическая, если v(P ) / TP .

Соответственно, точки из в некоторой окрестности точки P тоже нехарактеристические. Утверждение. Пусть P нехарактеристическая точка . Тогда в окрестности P существует единствен-

ная k-мерная поверхность M такая, что M и M инвариантна относительна v.

Доказательство. Введём на координаты y = (y1, . . . , yk−1). Рассмотрим z(t) траектории поля v. Выпустим эти траектории из каждой точки многообразия . При этом пересечению траектории с будет соответствовать координата t = 0, а y будут выступать в качестве параметров (то есть конкретный набор игреков задаёт конкретную траекторию z(t)). Тогда уравнения, которыми задаются траектории, будут такие:

z˙ = v(z)

z(0) = r(y)

Итак, у этой системы есть решения z = z(t) = Z(t, y). Из тех же соображений, что использовались при доказательстве аналогичного утверждения из предыдущего раздела, получаем, что якобиан отображения Z ненулевой, и оно является диффеоморфизмом (и оно само, и обратное к нему отображение являются непрерывно дифференцируемыми).

Собственно, вот оно, многообразие M: оно задаётся параметрами (t, y), и Z(t, y) даёт точки многообразия M. Первое из уравнений системы означает инвариантность, второе что лежит в M. Размерность M на единицу больше размерности , поскольку для задания M используется на 1 параметр больше.

Конец отступления. Вернёмся к квазилинейным уравнениям.

Итак, чтобы найти решение ( ), воспользуемся доказанным утверждением и будем искать поверхность Mn Rn(x,w+1 ), инвариантную относительно поля v. Тогда, если выразить последнюю ((n + 1)-ую) координату (w) через остальные (x), то полученная связь w = u(x) и будет искомой функцией u(x).

Определение. Задача Коши для ( ) это задача отыскания функции u(x) такой, что u(x) удовлетворяет ( ), и u|γ = u0, где γ заданная (n − 1)-мерная поверхность, u0 заданная функция.

Определение. Задача Коши называется нехарактеристической в точке P γ, если a(P, u0(P )) = (a1(P, u0(P )), . . . , an(

TP γ.

В этом определении нехарактеричности присутствует не только поверхность γ и функции aj , но и функция

u0.

Теорема. Пусть задача Коши нехарактеристична в точке P поверхности γ. Тогда в окрестности P у этой задачи Коши существует единственное решение.

Доказательство. Введём на γ координаты y = (y1, . . . , yn−1). Соответственно, в пространстве Rn поверхность γ будет задаваться уравнением x = r(y), где r какая-то заданная функция. Теперь построим в Rn(x,w+1 ) график функции u0 размерности n − 1. Это многообразие задаётся уравнениями x = r(y), w = u0(y). А теперь из каждой точки выпускаем траектории векторного поля v. Сейчас мы это будем описывать в формулах.

Мы знаем, что a не касается γ, так как наша задача Коши нехарактеристическая. Иными словами, a не раскладывается по базису в касательной плоскости к γ. Но v = (a, b), так что v тем более не раскладывается по базису в касательной плоскости к . Значит, v не касается и мы можем выпустить из каждой точки траектории поля v и получить многообразие M размерности на 1 больше (то есть n).

Осталось доказать, что уравнение M можно представить в виде w = u(x), то есть однозначно выразить последнюю координату через первые. Иными словами, предлагается использовать x как координаты на M.

M задаётся в координатах следующей системой уравнений:

x˙ = a(x, w)

w˙ = b(x, w)

x(0) = r(y)

w(0) = u0(y)

Решения этой системы: x = x(t) = X(t, y), w = w(t) = U(t, y). Сейчас в качестве координат на M используются (t, y), а мы хотим x; для этого докажем, что можно выразить y = y(x), t = t(x). Это так, если отобра-

здесь первые векторы образуют базис в касательном пространстве, а последний в нём не лежит, а значит, все они линейно независимы (и в окрестности тоже). Получается, что мы можем составить функцию

w= u(x) = U(t(x), y(x)), что и требовалось.

Ещё раз.

1)Общее решение. Пишем характеристическую систему уравнений x˙ = a, w˙ = b, ищем независимые первые интегралы f1(x, w), . . . , fn(x, w), и тогда F (f1(x, u), . . . , fn(x, u)) = 0 общее решение (F произвольная функция). Да, неявное.

1.3 Уравнение Гамильтона–Якоби

Определение. Уравнением Гамильтона–Якоби называется уравнение вида

Рассмотрим пространство R2n. Его элементы обозначим как (x, p), то есть первые n координат, объединённые в n-мерный вектор, будут соответствовать x из уравнения и составлять пространство решений, а вторые n координат объединяются в n-мерный вектор p.

Если теперь имеется функция u(x), то мы можем построить поверхность Λn R2n 1-график этой функции, заданный уравнением p = ∂u∂x (так как p n-мерный вектор, то это фактически n уравнений). Координаты точек этой поверхности, таким образом, будут (x, ∂u∂x ). В этом определении уравнение ( ) никак

Последнее равенство верно из-за того, что ξx, равное (ξx1 , . . . , ξxn ), оказывается также равным (ξ1, . . . , ξn). В таком случае оказывается, что для любого ξ Λ

Итак, мы доказали, что ω(ξ, η) = 0 при любых ξ, η TP Λ. Иными словами, ω|Λ = 0. (Более точно было бы

P

на любое его подпространство).

Заметим ещё, что для того, чтобы Λ была элементарной поверхностью и все проделанные нами операции (начиная с нахождения стандартного базиса в Λ) имели смысл, необходимо, чтобы параметризация Λ переменными x была диффеоморфизмом, то есть между точками поверхности Λ и пространством векторов x существовало взаимно однозначное, в обе стороны гладкое соответствие. Иначе это можно сформулировать так: πx : Λn → Rnx проекция Λ на Rnx должна быть диффеоморфизмом. Это условие действительно выполняется благодаря тому, что Λ задана как график функции.

Вернёмся к уравнению ( ), функции H и пространству R2(x,pn ). Уравнение H(x, p) = 0 задаёт некоторую (2n − 1)-мерную поверхность . Это утверждение не касается функции u и потому не связано само по себе с уравнением ( ). Однако если предположить, что функция u удовлетворяет уравнению ( ) (то есть H(x, ∂u∂x ) =

0) и точка P = (x, p) Λ (то есть p = ∂u∂x ), то из этих предположений вытекает, что P = (x, p) , то есть H(x, p) = 0. Следовательно, если u решение ( ), то Λ .

Всё вышесказанное можно кратко сформулировать в виде утверждения.

Утверждение. Пусть функция u(x) гладкое решение уравнения ( ). Тогда поверхность Λn R2(x,pn ),

заданная уравнением p = ∂u , удовлетворяет свойствам:

Pn ∂x

1) ω|Λ = 0, где ω = j=1 dpj dxj .

2)Λn 2n−1, где поверхность задана уравнением H(x, p) = 0.

3)πx : Λn → Rnx диффеоморфизм.

Получается, что задача поиска функции u(x) сводится к задаче поиска соответствующей поверхности Λ, причём найти её можно именно из того соображения, что ω|Λ = 0.

Рассмотрим касательное пространство TP R2n к точке P из R2(x,pn ) (тоже 2n-мерное). Компоненты вектора из этого касательного пространства тоже будем разбивать на две группы по n компонент: ξ = (ξx, ξp) =

j=1

Здесь ( · ) обычное скалярное произведение n-мерных векторов. Таким образом, в координатах внешняя билинейная форма ω записывается так: ω = 0 −E , где E единичная матрица.

E0

Отступление. Линейная алгебра в симплектических пространствах.

Определение. Линейное симплектическое пространство это линейное пространство L, в котором задана кососимметричная билинейная невырожденная форма ω.

Кососимметричность: для любых ξ, η L выполнено ω(ξ, η) = −ω(η, ξ)

Невырожденность: ω(ξ, η) = 0 для любого η из L тогда и только тогда, когда ξ = 0. Это утверждение равносильно тому, что матрица Aω формы ω в любом базисе невырождена (det Aω =6 0).

Определение. Форма ω называется симплектической формой. w(ξ, η) называется кососкалярным про-

ω(ξ, η) записывается как ω(ξ, η) = (ξp · ηx) − (ξx · ηp).

Вчастности, при n = 1 мы получим пространство R2, и тогда ω(ξ, η) = ξ1η2 − ξ2η1 ориентированная

площадь параллелограмма, натянутого на вектора ξ и η.

Утверждение. Размерность всякого симплектического линейного пространства чётная. Доказательство. Рассмотрим линейное пространство L с симплектической формой ω. Пусть A матрица

формы ω (в некотором базисе). Тогда AT = −A, и det A 6= 0. Пусть dim L = m. Заметим, что det A = det AT = det(−A) = (−1)m det A. Отсюда (−1)m = 1, и m чётно.

Определение. Базис e1, . . . , en, u1, . . . , un в L называется симплектическим, если для любых i и j вы-

Доказательство. Возьмём e1 любой ненулевой вектор из симплектического пространства L, dim L = 2n. Тогда существует такой вектор v1, что ω(e1, v1) =6 0. В таком случае, если u1 = v1/ω(e1, v1), то ω(e1, u1) = 1. Рассмотрим теперь пространство L1 = {ξ L: ω(ξ, e1) = ω(ξ, u1) = 0} так называемое косоортогональное дополнение к подпространству he1, u1i, натянутому на векторы e1 и u1. (Косоортогональное дополнение будет определено ниже.) Размерность этого пространства на 2 меньше размерности пространства L: dim L1 = 2n−2, так как ω(ξ, e1) = 0 и ω(ξ, u1) = 0 это два независимых уравнения на 2n координат.

Покажем, что ω|L1 невырождена. Предположим, что это не так; тогда ξ L1 : ω(ξ, η) = 0 η L1. Но

тогда по определению L1 вектор ξ лежит в линейной оболочке he1, u1i векторов e1 и u1, то есть представляет собой их линейную комбинацию. Но раз существует такой ненулевой вектор ξ, лежащий одновременно в he1, u1i и его косоортогональном дополнении, то ω также вырождена и на he1, u1i. Однако в этом подпространстве матрица ω равна Aω|he1,u1i = . Эта матрица невырождена, значит, невырождена и сама форма ω на указанном подпространстве противоречие.

Итак, форма ω, ограниченная на подпространство L1, невырождена, и he1, u1i не лежит в L1. Тогда мы можем проделать в L1 все те же операции, что проделали в L. Так мы получим ещё одну пару векторов e2, u2 и подпространство L2 размерностью 2n − 4 (при этом, так как L2 подпространство L1, то he1, u1i не лежит и в L2); и так далее до тех пор, пока не дойдём до пространства Ln−1 размерностью 2 и последней пары векторов en, un. Они будут обладать заявленным свойствами, так как векторы из одной и той же пары будут давать в кососкалярном произведении единицу по построению этой пары векторов, а векторы из разных пар будут давать в кососкалярном произведении ноль по построению подпространств, в котором они находятся.

Определение. Косоортогональное дополнение MÜ к подпространству M L это множество всех векторов из L, которые дают ноль при кососкалярном умножении на любой вектор из M, то есть MÜ = {ξ L: ω(ξ, η) = 0 η M}.

Определение косоортогонального дополнения MÜ подпространства M симплектического пространства L, очевидно, аналогично определению ортогонального дополнения N подпространства N евклидова пространства H. Евклидово пространство разлагается в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения: H = N N , откуда следует dim N = dim H − dim N и N ∩ N = {0}. Соблюдаются ли эти свойства для косоортогонального дополнения?

Утверждение. Пусть L 2n-мерное симплектическое пространство, M его k-мерное подпространство. Тогда dim MÜ = 2n − k.

Доказательство. Выберем набор векторов v1, . . . , v2n так, чтобы это был базис в L, и при этом набор v1, . . . , vk был бы также базисом в M. Тогда векторы ξ множества MÜ задаются системой уравнений ω(ξ, vj ) = 0, j = 1, . . . , k. Эта система линейно независима, так как строки её матрицы являются также строками матрицы формы ω, а она невырождена. Таким образом, мы имеем k независимых уравнений на 2n координат вектора ξ, следовательно, размерность решения будет 2n − k. (Линейность кососкалярного произведения гарантирует, что MÜ также будет подпространством.)

Таким образом, для размерности косоортогонального дополнения выполняется то же соотношение, что и для обычного ортогонального дополнения. Однако разлагается ли симплектическое пространство в прямую сумму M MÜ?

Это не так. Пример: пусть dim M = 1, то есть M = hξi все вектора подпространства M отличаются двух векторов из M:

Приведём несколько примеров.

Пример изотропного пространства уже приведён: это любое такое M, что dim M = 1.

Если dim M = 2n − 1, то M коизотропно. Действительно, ведь если MÜ 6 M, то неизбежно M MÜ = L, а это не так.

Далее, пусть (e1, . . . , en, u1, . . . , un) симплектический базис в L. Тогда he1, . . . , eki изотропно для любого k < n (это следует из определения симплектического базиса). В то же время hek+1, . . . , en, u1, . . . , ukiÜ =

hu1, . . . , uki, так что hek+1, . . . , en, u1, . . . , uki коизотропно. Наконец, he1, . . . , eni лагранжево. Пусть dim L = 2n, dim M = k, dim MÜ = k′. k + k′ = 2n. Тогда:

если M изотропно, то k 6 n 6 k′; если M коизотропно, то k > n > k′; если M лагранжево, то k = n = k′.

Замечание. M изотропно тогда и только тогда, когда ω|M = 0 и dim M < n. M лагранжево тогда и только тогда, когда ω|M = 0 и dim M = n.

Конец отступления. Вернёмся к поиску поверхности Λ и решения уравнения Гамильтона–Якоби.

подпространство TP будет коизотропным. Кроме того, так как ω|Λ = 0, то TP Λ лагранжево. Определение. Поверхность, касательное пространство к которой в каждой точке лагранжево, сама на-

зывается лагранжевой.

Это новое определение, так как предыдущее определение лагранжевости относилось к симплектическим подпространствам и применялось в наших геометрических рассуждениях к касательным плоскостям, а не к поверхностям.

Сейчас мы привлечём к нашим рассуждениям симплектическую дифференциальную геометрию.

Итак, пространство TP 2n−1 коизотропно, то есть lP = (TP )Ü TP , при этом одномерная прямая lP задана в каждой точке поверхности ; все векторы из lP отличаются только на множитель, и любой из них задаёт одно и то же направление для каждой точки P . Поэтому, а также благодаря тому, что lP TP , lP можно рассматривать как поле на .

Определение. Поле lP характеристическое поле поверхности . Кривые в R2(x,pn ), касающиеся lP в точке P характеристики.

Характеристическое оно в том же смысле, в каком назывались характеристическими поля в предыдущих разделах: при сдвиге вдоль них сохраняются нужные свойства. Правда, докажем мы это, как обычно, потом. Но как получить это поле не геометрически, а в координатах?

Ищем такое поле, чтобы ω, будучи применённой к вектору этого поля и к любому вектору пространства

−∂H . Такое векторное поле v называется гамильтоновым.

∂xj

Итак, мы построили характеристическое поле это гамильтоново поле v. Формально говоря, мы доказали, что в каждой точке P вектор v(P ) лежит в одномерном пространстве lP , и lP = hvi; соответственно, в дальнейшем v и lP можно использовать почти как синонимы.

Продолжаем поиск поверхности Λn и операции с поверхностью 2n−1, а также симплектической формой

ω.

Утверждение. Пусть Λ лагранжева поверхность, Λ . Тогда Λ инвариантна относительно характеристик, то есть P Λ lP TP Λ.

Доказательство. Λ TP Λ TP TP Ü TP ΛÜ, но при этом TP Ü и есть lP .

10 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка

Инвариантность относительно некоторого известного векторного поля это уже весьма примечательное свойство. Если теперь задать поверхность размерности на 1 меньшей, чем Λ, такую, чтобы она обязательно содержалась в Λ, то Λ будет задана уже однозначно. (См. последнее утверждение о инвариантных поверхностях векторных полей в предыдущем разделе.) Назовём эту поверхность Λ0.

Геометрически это можно представить так, как будто мы выпускаем из каждой точки поверхности Λn0 −1 траектории характеристического поля и получаем поверхность Λn.

Для того, чтобы Λ могла содержать Λ0 и удовлетворять требуемым условиям, тем же условиям должна

удовлетворять и Λ0: Λn0 −1 2n−1, ω|Λ0 = 0, проекция πx : Λ0 → γ диффеоморфизм (γ кривая в пространстве Rnx ).

Определение. Лагранжева задача Коши это задача нахождения n-мерной поверхности Λ, такой, что Λ0 Λ, ω|Λ = 0. Здесь Λ0 заданная (n − 1)-мерная поверхность, Λn0 −1 2n−1, ω|Λ0 = 0.

Определение. Лагранжева задача Коши называется нехарактеристической в точке P Λ0, если v / TP Λ0.

Теорема. Пусть некоторая лагранжева задача Коши нехарактеристична в точке P0. Тогда в в окрестности точки P0 у этой лагранжевой задачи Коши существует единственное решение.

Доказательство. Мы уже знаем, что существует единственная поверхность Λ, которая инвариантна относительно характеристик и содержит Λ0, и, таким образом, может быть решением. Докажем, что она действительно является решением.

Для этого покажем, что ω|Λ0 со сдвигом = 0. В этом поможет следующее утверждение. Утверждение. Поток любого гамильтонова поля сохраняет форму ω.

Доказательство. Все 2n координат будем рассматривать вместе: (x, p) = z. Траектории поля v задаются уравнениями z˙ = v(z), z(0) = z0.

Собственно, поток векторного поля это гладкое отображение gt : z0 → z(t) сдвиг вдоль траектории. Его дифференциал действует в касательных пространствах: dgt : TzR2n → TgtzR2n. Итак, возьмём любые два вектора ξ и η из TzR2n и покажем, что отображение dgt не меняет результата формы ω, применённой к ним.

Пусть ω(dgt(ξ), dgt(η)) = f(t); покажем, что производная этой функции по t всюду равна нулю. Достаточно показать это для точки t = 0, так как начало отсчёта времени можно поместить в любую удобную нам точку, поскольку H не зависит от t. Впрочем, все последующие рассуждения можно проделать и без этого соображения, просто тогда вместо ξ и η нужно будет использовать dgt0 (ξ) и dgt0 (η) соответственно (и

Действие преобразования dgt на векторы из касательного пространства TP R2n выглядит как домножение на матрицу Якоби этого преобразования:

∂z(t) dgt(ξ) = ∂z0 ξ

В то же время z˙ = v. При этом v явно не зависит от времени, а только от x и p (то есть от компонент z).

нижние индексы x и p при H обозначает производные по n соответствующим компонентам, а нижние индексы

xи p у 2n-мерных векторов первые или вторые n компонент). Тогда

ω( ∂v∂z ξ, η) = ((−Hxxξx − Hxpξp) · ηx) − ((Hpxξx + Hppξp) · ηp)