Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect04

Замечание. Предложение 1 позволяет определить линейную зависимость или независимость системы из од-

¹

ного вектора: система fv¹g линейно зависима, если существует ® 6= 0 такое, что ®v¹ = 0. Очевидно, что система

¹

fv¹g линейно зависима в том и только том случае, когда v¹ = 0.

Следствие. Система векторов¹ v¹1; : : : ; v¹k 2 Rn линейно независима в том и только том случае, когда из равенства ®1v¹1 + ¢ ¢ ¢ + ®kv¹k = 0 следует, что все ®i = 0.

Рассмотрим задачу. Пусть нам дана система векторов v¹1; : : : ; v¹k 2 Rn. Как понять, является ли эта система линейно независимой или нет? Следующее предложение дает метод решения этой задачи.

Предложение 2. Система векторов v¹1; : : : ; v¹k 2 Rn линейно независима в том и только том случае, когда ранг n £ k-матрицы A, составленной из координат этих векторов, равен k.

Замечание. Обратите внимание, координаты векторов мы записываем по столбцам!

®1vn1 + ®2vn2 + ¢ ¢ ¢ + ®kvnk = 0

где vij это i-я координата вектора v¹j. Таким образом, векторы v¹1; : : : ; v¹k линейно зависимы в том и только том случае, когда однородная система (1) имеет ненулевое решение. Система же (1) имеет ненулевое решение, в том и только том случае, когда у нее есть свободные переменные, т.е. когда в ступенчатом виде ее матрицы

Следствие. Система из n векторов в Rn линейно независима тогда и только тогда, когда матрица их координат невырождена, т.е. когда определитель матрицы не равен нулю.

Теперь докажем важную теорему, которая уточняет связь между линейной зависимостью и независимостью векторов и свойствами матрицы координат.

Теорема 1. Пусть V = fv¹1; : : : ; v¹kg, v¹i 2 Rn, система векторов, а A n £ k матрица, составленная из координат векторов vi. Приведем A к главной ступенчатой матрице B. Тогда вектор, отвечающий не главному (свободному) столбцу, является линейной комбинацией „главных\ векторов с меньшими номерами. Вектор, отвечающий главному столбцу, не является линейной комбинацией векторов с меньшими номерами.

Доказательство. Пусть i-й столбец свободен, а i1; : : : ; il номера главных столбцов слева от i-го. Будем считать матрицу A матрицей линейной однородной системы и рассмотрим базисный столбец решение системы, отвечающий свободной переменной xi. По свойству базисного столбца в нем, кроме единицы в i-й позиции, ненулевые числа находятся в позициях с номерами i1; : : : ; il. Пусть эти числа равны ®1; : : : ; ®l, тогда базисный столбец дает решение системы (1), т.е. нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю:

¹

¡®1v¹i1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ®lv¹il + v¹i = 0:

Следовательно, v¹i = ®1v¹i1 + ¢ ¢ ¢ + ®lv¹il . Важно отметить, что мы получили даже более сильный результат: коэффициенты линейной комбинации записаны в свободном столбце.

Пусть теперь i-й столбец главный и пусть как главный столбец он имеет номер l. Тогда элементы этого столбца нули, кроме единицы в l-й позиции. Если вектор v¹i является линейной комбинацией векторов с мень-

шими номерами, то имеет место равенство v¹i = ®1v¹1+¢ ¢ ¢+®i¡1v¹i¡1. Тогда набор чисел (®1; : : : ; ®i¡1; ¡1; 0 : : : ; 0) является решением системы с матрицей A, а значит и системы с матрицей B. Но l-е уравнение системы с

матрицей B имеет вид:

Важное замечание. Вид главной ступенчатой матрицы и то, как одни векторы системы выражаются через другие, зависит от их нумерации. Изменение порядка векторов приводит к другой главной ступенчатой матрице.