Algebra&Geometry / modules 3-4 / LECT13

2. Обобщенное ядро

Мы знаем, что размерность собственного подпространства V¸0 не превосходит кратности ¸0 как корня характеристического многочлена. Но можно сформулировать и более точное утверждение.

Обозначим через 'k оператор

'('(: : : (') : : :) :

| {z }

k раз

Пусть Lk = ker('k). Подпространства Lk образуют неубывающую цепочку

L1 µ L2 µ L3 µ : : : :

Сначала докажем полезное свойство этой цепочки.

Предложение 1. Если Li = Li+1 для некоторого i, то Li = Li+1 = Li+2 = : : :.

Так как размерности подпространств Li не превышают числа n , то с некоторого момента m эти подпространства не возрастают: Lm = Lm+1 = Lm+2 = : : :. Обозначим это максимальное подпространство через L. Пусть dim L = s.

Теорема 1. Пусть кратность числа 0, как корня характеристического многочлена p' равна r, тогда s = r. Доказательство. Выберем базис пространства Rn следующим образом: сначала построим базис пространства L1

¹

(оператор переводит эти векторы в 0), затем дополним базис подпространства L1 до базиса подпространства L2 (каждый такой новый базисный вектор v¹ оператор переводит в L1, т.е. '(¹v) есть линейная комбинация векторов базиса подпространства L1, т.е. базисных векторов с меньшими номерами), затем дополним построенный базис подпространства L2 до базиса подпространства L3 (каждый такой новый базисный вектор u¹ оператор переводит в L2, т.е. '(¹u) есть линейная комбинация векторов базиса подпространства L2, т.е. опять-таки базисных векторов с меньшими номерами). И так далее.

После того, как построен базис подпространства L, мы дополним его до базиса V всего пространства Rn. Как выглядит матрица AV' ? В ее верхнем левом углу находится s £s-подматрица B строгая верхняя треугольная. Ниже этого блока нули. В правой части размером n £ (n ¡ s) может находиться все, что угодно. Пусть C (n ¡ s) £ (n ¡ s)-подматрица матрицы AV' , расположенная в ее правом нижнем углу. Тогда

jAV' ¡ ¸ Ej = jB ¡ ¸ Ej ¢ jC ¡ ¸ Ej:

Характеристический многочлен матрицы B равен ¸s. Обозначим через q характеристический многочлен матрицы C. Тогда p'(¸) = ¸sq(¸). Так как кратность нуля, как корня многочлена p'(¸) равна r, то s 6 r.

Предположим, что s < r, тогда многочлен q(¸) делится на ¸, т.е. матрица C вырождена. Следовательно, однородная система с матрицей C имеет ненулевое решение (a1; : : : ; an¡s). Рассмотрим вектор w¹ 2 Rn:

w¹ = (0; : : : ; 0; a1; : : : ; an¡s):

3

Таким образом, вектор z¹ является линейной комбинацией векторов базиса пространства L, т.е. он переводится в нуль за некоторое количество = l шагов. Но тогда вектор w¹ переводится в нуль за l + 1 шаг. Но этого не может