Сборник+задач.Часть+2
.pdf
Вычислите следующие определенные интегралы
3
6.59. ∫x3dx
1
2 |
|
1 |
|
|
|
|
6.60. ∫ |
x2 + |
|
|
|
|
dx |
x |
4 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6.61. ∫ |
1+ x dx |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
6.62. ∫ |
|
|
|
|
|
|
4 − x2 |
|
|||||
0 |
|
|||||
2 xdx
6.63.∫1+ x2
1 |
|
|
ln 3 |
exdx |
|
6.64. ∫ |
||
x |
||
0 |
e +1 |
4dx
6.65.∫
02x +1
1
6.66. ∫ x2 1− x3 dx
−2
41
1 |
|
dx |
|
|
6.67. ∫ |
|
|||
|
5 −4x |
|||
−1 |
||||
|
|
|||
5 |
|
x2 −16 dx |
||
6.68. ∫x |
||||
4 |
|
|
|
|
1
6.69. ∫x(2 − x2 )5 dx
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
||
6.70. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
25 − x2 |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||
6.71. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1+ |
2x +1) 2x +1 |
|||||||||
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 2 |
|
|
x6dx |
|
|
|||||
6.72. ∫ |
|
|
|
|
||||||
1+ |
(x |
7 |
−1) |
2 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.73. Найдите lim Sn , если
n→∞
|
1 |
|
|
5n +1 |
|
5n +2 |
|
5n +3 |
|
|||
Sn = |
n |
|
f ′ |
|
|
+ f ′ |
|
|
+ f ′ |
|
|
+K+ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
||||
f (x) имеет непрерывную первую производную и
n N .
f′ 6n , а функция
n
f (n) = n! при
π
|
1 |
6.74. Известно, что ∫6 sin 3x f (cos3x)dx = −1. Найдите ∫ f (x)dx . |
|
0 |
0 |
42
|
|
|
2 |
|
|
|
′ |
2 |
g( x) . Найдите |
∫x |
3 |
′ |
=1, |
6.75. Известно, что G (x) = x |
|
|
g ( x)dx , если g(0) |
|||
G(0) =1, g(2) = 2 , G(2) = 2 . |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
6.76. Известно, что G (x) = sin x g(x) . Найдите |
|
∫cos x g ( x)dx , если |
||||
G(0) =1, G(π) = 3. |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите следующие несобственные интегралы или установите их расходимость.
∞dx
6.77.∫1 x2
∞dx
6.78.∫1 x
∞ dx
6.79.∫ x1
∞ dx
6.80. ∫1 x p
∞
6.81. ∫xe−x2 dx
0
+∞ dx
6.82. −∫∞ 1 + x2
+∞ dx
6.83. −∫∞ x2 +4x +9
1dx
6.84.∫
0x
43
1dx
6.85.∫0 x
1dx
6.86.−∫1 x
1dx
6.87.∫0 x2
1dx
6.88.∫0 x p
3dx
6.89.∫0 (x −1)2
1dx
6.90.∫ 2
0 1 − x
Исследуйте сходимость следующих несобственных интегралов.
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
6.91. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x + x |
2 |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
6.92. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 − x |
3 |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
6.93. ∫ |
|
|
|
|
|||||
3 |
1 − x |
2 |
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
dx |
|
|
|
||||
6.94. ∫ |
|
|
|
|
|||||
x + |
x +1 |
||||||||
1 |
|||||||||
∞ dx
6.95.∫x4 + x3 +1
1
44
∞dx
6.96.∫1 x x + x +1
∞sin xdx
6.97.∫ x2 +1
1
∞
6.98. ∫e−x2 dx
0
45
7.Обыкновенные дифференциальные уравнения
7.1.Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
а) xy′+ y =0 .
б) x2 y′+ y = 0 .
в) (x +1) y′+ xy = 0 .
г) (2x +1) y′= 2 y
д) yy′+ x = 0
е) xyy′=1− x2 .
ж) y′ctgx + y = 2 .
з) xydy = y2 +1 dx .
и) x2 y2 y′+1 = y .
7.2. Решите задачу Коши а) y′= y , y(−2) = 4 .
б) xy′−2 y = 0 , y(2) =12 .
в) y′= x y+1 , y(2) = 6 .
46
г) (1+ x2 ) y′+ y = 0 , y(1) =1.
7.3. Найдите решение дифференциального уравнения yyx ′ +ey = 0 ,
удовлетворяющее условию y = 0 при x =1.
7.4.Найдите решение дифференциального уравнения y′= −y2 , удовлетворяющее условию y = 0 при x = 2.
7.5.Найдите решение дифференциального уравнения y′+ y2ex = 0 , удовлетворяющее условию y =1 при x = 0 .
7.6.Найдите решение дифференциального уравнения 2 y′ x = y , удовлетворяющее условию y =1 при x = 4.
7.7.Найдите решение дифференциального уравнения x2 y′+ y2 = 0 , удовлетворяющее условию y =1 при x = −1.
7.8.Решите однородные дифференциальные уравнения
а) xy′= x + 2 y
б) (x + y)dy +(x − y)dx = 0
в) x2dy +( y2 −2xy)dx = 0
г) (xy − x2 ) y′= y2
д) (x2 + y2 ) y′= 2xy
47
7.9. Решите линейные дифференциальные уравнения
а) y′− 3xy = x
б) y′+ 2 y = e−x2 x x
в) xy′+ y =ln x +1
г) xy′−2 y = 2x4
д) x2 y′+ xy +1 = 0
е) (xy +ex )dx − xdy =0
ж) xln x dy = (2 y +ln x)dx
7.10. Решите уравнения Бернулли а) y′x + y = −xy2
б) y′+ 2 y = y2ex
в) y′− xy = −y3e−x2
г) x2 y′= y2 + xy
48
д) y′+ xy = xy3
7.11. Решите задачу Коши
а) x2 y′= 2xy −3 , y =1 при x = −1
б) y′= |
y2 |
− |
y |
, y =1 при |
x = −1 |
x2 |
x |
в) 3y2 y′+ y3 = x +1 y = −1 при x =1
Решите следующие системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
x&
7.12.y&
x&
7.13.y&
x&
7.14.y&
x&
7.15.y&
x&
7.16.y&
x&
7.17.y&
=2x + y
=3x +4 y
=x − y
=−4x + y
=−x +8 y
=x + y
=x + y
=−2x +3y
=x −3y
=3x + y
=−x −5y
=x + y
49
x& = x − y + z
7.18.y& = x + y − z (одно из собственных чисел равно 1)
z& = 2x − y
x& = x −2 y − z
7.19.y& = −x + y + zz& = x − z
x& = 2x − y + z
7.20.y& = x +2 y − z (одно из собственных чисел равно 1)
z& = x − y +2z
x& = 3x − y + z
7.21.y& = x + y + z (одно из собственных чисел равно 1)
z& = 4x − y +4z
Решите следующие линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
7.22.y′′+ y′−2 y = 0
7.23.y′′+4 y′+3y = 0
7.24.y′′−2 y′ = 0
7.25.2 y′′−5y′+2 y = 0
7.26.y′′−4 y′+5y = 0
50