Сборник+задач.Часть+2
.pdf
′′ |
x ≠ 2 . Изобразите эскиз графика y = f (x) и |
|
(x −2) f (x) < 0 при всех |
||
оцените возможные значения f (2) . |
|
|
5.10. Функция f (x) определена |
и имеет непрерывную вторую |
|
производную при всех |
x (−∞;+∞) . |
График функции y = f (x) имеет |
асимптоту y = x +3 при |
x → −∞ и |
y = 2x − 2 при x → +∞. Кроме того, |
′′ |
x ≠ −1. Изобразите эскиз графика y = f (x) и |
|
(x +1) f (x) > 0 при всех |
||
оцените возможные значения f (−1) .
5.11. Найдите сумму ординат всех точек пересечения асимптот
графика y = 2x3 −3x2 .
x2 −3x +2
5.12. Найдите сумму ординат всех точек пересечения асимптот
графика y = 3x2 −2x3 . x2 +2x −8
Проведя необходимое исследование, постройте графики следующих функций
5.13.y = x2x+1
5.14.y = x56 − x65
5.15.y = 4x2 +3x 2x + 2
5.16.y = x3x+2 4
5.17.y = x2x−3 4
31
5.18.y =
5.19.y =
5.20.y =
5.21.y =
5.22.y =
5.23.y =
5.24.y =
5.25.y =
5.26.y =
x3
x2 +1
x3
(x −2)2
27 −2x3
6x2
x2
(x + 4)2
2x2 +3x −5 x −4
x2 −3x −18
x−9
x4
(x +1)3
x3 − x2
(x +1)2
(x +1)3
(x −1)2
32
5.27.y = 3 x2x −1
5.28.y = e2x−x2
5.29.y = xe−x
5.30.y = ex
x+1
1
5.31. y = (x +1)e x
9
5.32. y = (x −2)e x
1
5.33.y = x2 e x
5.34.y = xe−x2
5.35.y = x2 e−x2
5.36.y = xln x
5.37.y = x2 ln x
5.38.y = lnxx
33
5.39.y = (x −1) 3 x2
5.40.y = x + arctg(x)
5.41.y = x −arctg(2x)
34
6.Интеграл.
6.1.Вычислив производную (cos x5 )′, найдите ∫x4 sin x5dx .
6.2.Вычислив производную (ln(1 − x4 ))′, найдите ∫1 −x3x4 dx .
Найдите следующие неопределенные интегралы
6.3. ∫ x4 +35 x + x12 dx
|
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
6.4. |
|
|
|
|
|
− |
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
1+ x |
|
|
4 − x2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.5. ∫ |
5x8 |
+1 |
dx |
|
|
|||||
|
x |
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.6. ∫ |
3x4 |
+3x2 +1 |
|
|||||||
|
|
x |
2 |
+1 |
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.7.∫3 3 −7x dx
6.8.∫ 61x−−31x dx
6.9.∫22xx ++13 dx
35
6.10. ∫ |
1−3x dx |
|
|
|
|||||||||
|
3 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.11. ∫ |
3arctg2 x |
dx |
|||||||||||
x |
2 |
+ |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.12. ∫ |
x |
dx |
|
|
|
||||||||
cos |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.13. ∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
||
x ln |
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
6.14. ∫ |
1+ln x |
dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.15. ∫x2 |
|
|
|
3 1+ x3 dx |
|||||||||
6.16. ∫x2 5 x3 −8dx |
|||||||||||||
6.17. ∫ |
sin x |
|
dx |
|
|
|
|||||||
cos |
3 |
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.18. ∫ |
e |
tgx |
|
|
dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.19. ∫ |
3 +cos(5x) sin(5x)dx |
||||||||||||
6.20. ∫ |
|
|
x2 +1 |
|
|
dx |
|||||||
(x |
3 |
+3x +1) |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
36
6.21. ∫ |
x |
|
dx |
|
x +1 |
||||
|
|
|||
6.22.∫23x xx++1xdx
6.23.∫ xx2dx+1
6.24.∫ xdx 41− x
6.25. ∫ |
|
dx |
|
7 |
−5x2 |
||
|
xdx
6.26. ∫2x2 +3
6.27. ∫2arcsin x + xdx 1 − x2
6.28. ∫e−(x2 +1)x dx
6.29. ∫sin (ln x)dxx
6.30. ∫x2 +dx4x +5
37
6.31. ∫ |
|
dx |
|
3 |
−2x − x2 |
||
|
|||
6.32. ∫ |
|
dx |
|
x2 + 2x +8 |
|||
|
|||
6.33. |
∫xsin(3x)dx |
6.34. |
∫x2 sin x dx |
6.35.∫(x2 + 2x +3)cos x dx
6.36.∫(x +1)e−xdx
6.37.∫(x +1)cos3x dx
6.38.∫(6x +3)cos(2x)dx
6.39.∫(2x + 2)e2xdx
6.40.∫x2e−x dx
6.41. |
∫x2 cos x dx |
6.42. |
∫(4x3 +6x −7)ln x dx |
38
6.43.∫xln(3x + 2) dx
xdx
6.44.∫cos2 x
6.45.∫xarctgx dx
6.46.∫lnx3x dx
6.47. Найдите первообразную функции f (x) = |
1− x2 |
, проходящую |
|
x4 |
|||
|
|
через точку (1
2, −1). Используйте замену переменной x12 −1 =t2 .
6.48. Найдите первообразную функции |
f (x) = |
1 |
, |
x3 3 2 − x3 |
проходящую через точку (1, 1). Используйте замену переменной
2 |
−1 =t3 . |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.49. Найдите первообразную функции |
f (x) = |
1 |
, |
||
x2 1+ x2 |
|||||
проходящую через точку (1,0) . Используйте замену переменной
1 |
+1 =t2 . |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.50. Найдите первообразную функции f (x) = |
1 |
, |
||
(4 + x2 )3 |
||||
проходящую через точку (1, 0). Используйте замену переменной
2
x42 +1 =t 3 .
39
6.51. Известно, что |
|
π3/ 2 cos x |
|
|
|
|
2 |
|
′ |
( π ). |
||||
∫ |
x2 +π2 dx = F(x) +C и |
g(x) = F(x ) . Найти |
||||||||||||
g |
||||||||||||||
|
|
|
5x |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
6.52. Известно, что |
∫ |
|
|
|
dx = F(x) +C и g(x) = F (x |
|
|
). Найти |
′ |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
x |
+9 |
|
|
g |
(2). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.53. Найдите неопределенный интеграл ∫ |
|
f (x) |
|
dx , если |
|
|
|
|||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ x −6 |
|
|
|
|
||||
∫xf −(xa) dx = F(x; a) +C , где F( x;a ) – заданная функция переменных x и a,
C=const. |
|
|
|
|
6.54. Найдите неопределенный интеграл ∫ |
|
x |
f (x) |
dx , если |
x |
2 |
|
||
|
|
+ x −6 |
||
∫xf −(xa) dx = F(x; a) +C , где F( x; a ) – заданная функция переменных x и a,
C=const.
6.55. Если f (x) непрерывна на [0;15] и F '(x) = f (x) , то чему равен
7
определенный интеграл ∫ f (2x +1)dx .
3
6.56. Если |
f (x) |
непрерывна на [0;11] и F '(x) = f (x) , то чему равен |
|
|
4 |
определенный интеграл ∫ f (3x −2)dx . |
||
|
|
2 |
6.57. Если |
f (x) |
непрерывна на [-1;19] и F '(x) = f (x) , то чему равен |
|
|
3 |
определенный интеграл ∫ f (4x + 2)dx . |
||
|
|
1 |
6.58. Если |
f (x) |
непрерывна на [-1;19] и F '(x) = f (x) , то чему равен |
5
определенный интеграл ∫ f (3x −4)dx .
2
40