Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник+задач.Часть+2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

364.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

7.27.y′′+2 y′+10 y = 0

7.28.y′′+4 y = 0

7.29.y′′′−8 y = 0

7.30.yIV − y = 0

Найдите решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям.

7.31. y	′′	−5y	′	+4 y = 0,		y(0) = 5,		′	= 8.
								y (0)
7.32. y	′′	+3y	′	+2 y = 0,		y(0) =1,		′	= −1
								y (0)
7.33. y	′′	+4 y = 0,			y(0)	= 0,	′	= 2.
							y (0)
7.34. y	′′	+2 y	′	= 0,	y(0)	=1,	′	= 0.
							y (0)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

1.Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике. М.: Наука, 1986.

2.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1997.

3.Зимина О.В., и др. Высшая математика. Решебник. М.: Физико-математическая литература, 2001.

4.Самовол В.С. Основы математического анализа для политологов.

Ч. I, Ч. II. Учебное пособие. М.: ГУ-ВШЭ, 2001.

5.Сборник задач по математическому анализу. Т.1-3, Под ред. Л.Д.Кудрявцева, М.:Физматлит, 2003.

6.Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005.

7.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

8.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.

Ответы.

1.1. 3/2. 1.2 -2/3. 1.3. 25/9. 1.4. 64. 1.5. 2. 1.6. 9. 1.7. 2 .

1.8. -3. 1.9. -15/2. 1.10. 1/6. 1.11. 4. 1.12. 1. 1.13. 1/9. 1.14. 8. 1.15. 0. 1.16. 1. 1.17. 1/2. 1.18. 4/3. 1.19. 5/4. 1.20. -1/6. 1.21. 2.

1.22. −4 2 . 1.23. 1/2. 1.24. 1/3. 1.25. 0. 1.26. 0. 1.27. e5 .

1.28.e−2 . 1.29. 1/2. 1.30. 2/3. 1.31. e−3 . 1.32. e12 .

2.1.а)-5. 2.1. б) ∞. 2.1. в) 0. 2.1. г) 4/3. 2.1. д) -4/3.

2.1.	е) 2/3.	2.1. ж) -12. 2.1. з) 1. 2.1. и) 1/3. 2.1. к) 0	2.1. л) ∞.
2.1.	м) 1.	2.1. н) -1. 2.1. о) 2. 2.1. п) +∞. 2.1. р) 3.	2.1. с) -3/2.

2.1.т) 3/19. 2.1. у) 0. 2.1. ф) 2/3. 2.1. х) 8. 2.1. ц) 0. 2.1. ч) e2 .

2.2.а) x2 . 2.2. б) x3 . 2.2. в) x4 . 2.2. г) x6 . 2.2. д) x3 . 2.2. е) x2 .

2.2.ж) x2 . 2.3. а) 2/3. 2.3. б) 1. 2.3. в) 1/6. 2.3. г) 1/18. 2.3. д) -6.

2.3.е) -1/6. 2.3. ж) -1/8. 2.3. з) -8/25. 2.3. и) −e2. 2.3. к) -4/3.

2.3. л) 1/5. 2.3. м) 6. 2.3. н) 3. 2.3. о) 3/2. 2.3. п) e23 . 2.3. р) e10 . 2.3. с) e32 . 2.3. т) ectg(3) . 2.3. у) e−18 . 2.3. ф) e−2 . 2.3. х) e14 .

2.3.ц) e−23 . 2.3. ч) e−10 . 2.3. ш) e2 .

3.1.cos x . 3.2. sin a . 3.3. 9 ln 3 . 3.4. 2 ln 2 . 3.5. f ′(tg π/4) (cos π/4)-2 = f ′(1) 2 = 10. 3.6. (f ′(π/4) tg π/4 + f(π/4) (cos π/4)-2)/4 = 2.

3.39. Неизвестно. 3.40. c . 3.41. Неизвестно. 3.42. α β . 3.43. 125. 3.44. 8748= (3 92 ) (3 22 ) (3 12 ) . 3.45. 3x ln 3. 3.46. h(x). 3.47. f (2) = 2 3π

+ 1; f ′(2) = 3π2 3π–1. Указание. Найдите, сначала, функции g(x) и h(x)

отдельно.	3.48. -6.	3.49. 4−sin x (ln2 4cos2 x +ln 4sin x) . 3.50. 2 ( t2 −t
при t = 2 ).	3.51. 5	(10cost при t =	π ).
			3

3.52. y = −2.5x +13 .			3.53.	y =3x +9 . 3.54. y = −x + 2 .
3.55. y = −6x −22 .			3.56. 3.	3.57. -1.		3.58. 3. 3.59. -1.
3.60. y = −1 x +	3	.	3.61. y = −3x + 7 . 3.62. y = −x + 2 .
2	2
3.63. y = 4x −7 .	3.64. y =			1 x +	13 .	3.65. y = 2x −1.
				7	7
3.66. y = −5x +11.		3.67. yB – yA = k ( xB – xA) = 3 5 = 15. 3.68. 250.
3.69. 40. 3.70. -3.		3.71. 8.		3.72. 3.		3.73. -1. 3.74. -4,98.	3.75. 4,99.
3.76. -5,01. 3.77. -3,02. 3.78. 32,08.						3.79. 0,96. 3.80. 1,03.	3.81. 1,2.

3.82.1,075. 3.83. 2,995. 3.84. 0,805. 3.85. 2,94 руб.

4.1.f (x) = −1−(x −1) −(x −1)2 −(x −1)3 −(x −1)4 + o((x −1)4 ) .

4.2.f (x) =1+ 12 (x −1) − 18 (x −1)2 +o((x −1)2 ) .

4.3.f (x) =1+ 2x + x2 − 23 x3 +o(x3) . 4.4. f (x) =1+ x + 12 x2 +o(x3) .

4.5.P′′(10) =2. 4.6. P′′′(11) =12. 4.7. 0. 4.8. 1/3. 4.9. 3/2. 4.10. 3/2.

4.11. 1/3.

4.12. 0. 4.13. 0.

4.14. 0.

4.15. 0. 4.16. 2.

4.17. -1/12.

4.18. 1/3.

4.19. 1/3.

4.20. f (x) ≈ 4x3 , 0,5.

4.21. f (x) ≈ −3x2 , -0,27.

4.22. f (x) ≈

1/8. 4.23. f (x) ≈ −

, -1/32.

4.24. f (x) ≈ −

, -1/64.

4.25. f (x) ≈ −x

, -0,04.

4.26. f (x) ≈ 2x2 , 0,32.

4.27. f (x) ≈ 2x6 , 1/32.

4.28. f (x) = x − x3 − x4

+o(x4 ) ,

f (IV ) (0) = −12 .

4.29. f (x) =

+o(x

) , f

(IV )

(0)

=16 .

4.30. f (x) =

+o(x

) , f

(IV )

(0) =6 . 4.31. -6.

4.32. -8.

4.33. 12 f ′′(x0 )∆x2 .

4.34. 15 f ′′(x0 )∆x2 .

4.35. 12 f ′′(x0 )∆x2 .

4.36. 42 f ′′(x0 )∆x2 . 4.37. y = − 2x + 13 . 4.38. y=e2 x +e2 2 .

4.39. y = x −4.5 .

5.1.16. 5.2. 688. 5.3. 58. 5.4. ymin = −3, ymax =5 .

5.5.ymin = −8 , ymax = 7 . 5.6. ymin = −15 , ymax =9 . 5.7. x=2 (x=4

максимум). 5.8. x=-5 (x=3 минимум). 5.9. f (2) (−1;5) .

5.10. f (−1) (−4; 2) . 5.11.

12 (5+7, y=2x+3 , x=2, x=2).

5.12. 18 (15+3, y=-2x+7 , x=-4, x=2). 5.13. y = 0 - горизонтальная

асимптота,

y′ =

1 − x2

y′′

−2x(3 − x2 )

, min : x = −1, max : x =1,

( x2 +1)2

( x2 +1)3

точки перегиба: x = ±

x = 0 ,

5.14. y = 0 - горизонтальная

асимптота, x = 0 - вертикальная асимптота,

′

x −1

= 30 x7

′′

7 −6x

= 30

, min : x =1, точка перегиба: x = 6 .

′

4x2 +8x +3

5.15. y = 2x − 2

- наклонная асимптота, y

2(x +1)2

′′

, min : x = −2

, max : x = −2 .

5.16. y = x - наклонная

= ( x

+1)3

x3 −8

асимптота, x = 0 - вертикальная асимптота,

y′

, y′′ = x4 ,

min : x = 2 .

5.17. y = x - наклонная асимптота, x = ±2 - вертикальные

асимптоты,

′

x2 (x2 −12)

′′

8x( x2 +12)

, min : x = 2 3 ,

( x2 −4)2

( x2 −4)3

max : x = −2

3 , x = 0 - точка перегиба. 5.18. y = x - наклонная

асимптота,

′

x2 (x2 +3)

, y

′′

2x(3 − x2 )

x = 0;± 3 - точки

(x2 +1)2

( x2 +1)3

перегиба.

5.19. y = x +4 - наклонная асимптота,

x = 2 - вертикальная

′

x2 (x −6)

′′

24x

асимптота,

= (x −2)3 ,

= (x −2)4 , min : x = 6 , x = 0 - точка

перегиба.

5.20. y = −

1 x - наклонная асимптота,

x = 0

- вертикальная

асимптота,

y′ =

−x3 −27

y′′

, min : x

−3 .

3x3

5.21. y =1 - горизонтальная асимптота, x = −4 - вертикальная

асимптота,

y′ =

y′′ =

16(2 − x)

, min : x

= 0

, x = 2 - точка

(x +4)3

( x +4)4

перегиба.

5.22. y = 2x +11 - наклонная асимптота,

x = 4 - вертикальная асимптота,

′

2x2 −16x −7

′′

( x −4)2

= ( x −4)3 ,

min : x =

8 +

, max : x =

8 −

5.23. y = x +6 - наклонная

асимптота,

x = 9 - вертикальная асимптота, y

′

−18x +45

( x −9)2

′′

, min : x

=15 , max : x = 3.

5.24. y = x

−3 - наклонная

= ( x −9)3

асимптота, x = −1 - вертикальная асимптота,

′

x3( x +4)

= (x +1)4 ,

′′

12x2

, min : x

= 0 , max : x = −4 .

5.25. y = x

−3 - наклонная

= ( x +1)5

асимптота, x = −1 - вертикальная асимптота,

′

x(x2 +3x −2)

( x +1)3

′′

10x −2

, min : x

−3 + 17

, max : x = 0,

x =

−3 − 17

, точка

= ( x +1)4

перегиба: x =

1 .

5.26. y = x +5

- наклонная асимптота,

(x +1)2 (x −5)

24(x +1)

x =1 - вертикальная асимптота,

′

, y

′′

( x −1)3

= ( x −1)4 ,

min : x = 5 , x = −1 - точка перегиба.

5.27. x = ±1 - вертикальные

′

−3

′′

2x(9 − x2 )

, min : x =

асимптоты,

3 ( x2 −1)4 , y

33 (x2 −1)7

3 ,

max : x = −

3 , точки перегиба: x = 0;±3 . 5.28. y = 0 - горизонтальная

асимптота, y′ = 2(1 − x)e2 x−x2 ,

точки перегиба: x = 2 ±2 2 .

при x → +∞, y′ = (1 − x)e−x ,

перегиба: x = 2 . 5.30. y = 0

y′′ = 2(2x2 −4x +1)e2 x−x2 , max : x =1,

5.29. y = 0 - горизонтальная асимптота

y′′ = ( x −2)e−x , max : x =1, точка

- горизонтальная асимптота при x → −∞,

x = −1 - вертикальная асимптота,

y′ =

x ex

, y′′ =

( x2 +1)ex

(x +1)2

( x +1)3

min : x = 0 .

5.31. y = x +2 - наклонная асимптота,

y′ =

x2 − x −1

x = 0 - вертикальная асимптота при x → 0 +0 ,

ex ,

3x +1

1 + 5

, max : x =

1 − 5

, точка перегиба:

y′′ =

ex , min : x =

x = −1 . 5.32. y = x +7 - наклонная асимптота,

x = 0 - вертикальная

x2 −9x +18

45x −144

x → 0 +0 , y′

y′′ =

асимптота при

ex ,

min : x = 6 , max : x = 3, точка перегиба: x = 3,2 .

5.33. x = 0 - вертикальная асимптота при x → 0 +0 ,

y′ = (2x −1)ex ,

2x2

−2x +1 1

min : x =

. 5.34. y = 0

- горизонтальная

y′′ =

ex ,

′

−x2

′′

−x2

асимптота,

(1 −2x

= (4x

−6x

, min : x = −

max : x =

, точки перегиба: x = 0;±

3 .

5.35. y = 0 - горизонтальная асимптота, y′ = 2( x − x3 )e−x2 ,

y′′ = 2(2x4 −5x2 +1)e−x2 , min : x = 0 , max : x = ±1, точки перегиба:

x = ±

5 ±

17 .

5.36. y′ = ln x +1,

y′′ = 1x , min : x = 1e .

5.37.

y′ = x(2 ln x +1) ,

y′′ = 2 ln x +3, min : x = e−12 , точка перегиба:

−3

x= e 2 . 5.38. y = 0 - горизонтальная асимптота при x → +∞,

x= 0 - вертикальная асимптота при x → 0 +0 , y′ = 1 −xln2 x , max : x = e ,

точка перегиба: x = e

5.39. y

′

5x −2

′′

10x +2

3 3

x , y

9 3

, min : x =

max : x = 0 , точка перегиба: x = −1 .

5.40.

y = x +

- наклонная

асимптота при x → +∞,

y = x −

- наклонная асимптота при

x2 +2

x → −∞, y′ =

′′ = −

, точка перегиба: x = 0 .

, y

x2 +1

(x2 +1)2

5.41. y = x −

π - наклонная асимптота при x → +∞,

y = x + π

4x2 −1

y′′ =

16x

наклонная асимптота при

x → −∞, y′ = 4x2 +1 ,

(4x2 +1)2

min : x =

, max : x = −

, точка перегиба: x = 0 .

6.1. −

1 cos x5 +C .

6.2. −1 ln |1 − x4 | +C .

x5 x −

+C .

6.3.

6.4. 2arctg(x) −3arcsin

+C .

6.5. x5 −

+C .

6.6. x3

+ arctg(x) +C . 6.7. −

(3 −7x)4 3 +C .

3x3

6.8.

(1 −3x)3 2 −

3 (1−3x)1 2 +C . 6.9. x +ln

1+ 2x

+C .

3 x +

11ln

6.10. −

3 + 2x

+C . 6.11. arctg3x +C .

6.12. tg3x +C .

6.14. 2

(1+ln x)3 2 +C . 6.15.

6.13. 2

ln x +C .

1 (1+ x3 )3 +C .

6.16. 185 (x3 −8)65 +C . 6.17. 2cos1 2 x +C . 6.18. etgx +C .

6.19.	−		2	(3 +cos(5x))3 2		+C .		6.20. −		1			+C .
6.19.	−	15		(3 +cos(5x))3 2		+C .		6.20. −	9(x3 +3x +1)3				+C .
		15							9(x3 +3x +1)3
6.21. x −2 x +ln(					x +1)2 +C .			6.22. ln(2x x + x) +C .
			x2 +1 +C .			1	arcsin(x2 ) +C .				1			5
6.23.					6.24.	2				6.25.		arcsin x		7	+C .
6.23.					6.24.					6.25.	5	arcsin x			+C .
											5
6.26.	1 ln			(2x2 +3)+C .		6.27. arcsin2 x −				1 − x2 +C .
	4

6.28. −12 e−(x2 +1) +C . 6.29. −cos(ln x)+C . 6.30. arctg(x + 2) +C .

x +1		+C .		(	x +1		x2 + 2x +8	)	+C .
	2			(				)
6.31. arcsin			6.32. ln			+

6.33. −13 xcos(3x) + 19 sin(3x) +C . 6.34. 2xsin x − x2 cos x + 2cos x +C . 6.35. (x +1)2 sin x + 2(x +1)cos x +C . 6.36. −(x + 2)e−x +C .

6.37. x 3+1sin 3x + 19 cos3x +C . 6.38. (3x +1,5)sin(2x) +1,5cos(2x) +C .

6.39. (x +0,5)e2x +C . 6.40. −(x2 + 2x + 2)e−x +C .

6.41.x2 sin x + 2xcos x −2sin x +C .

6.42.(x4 +3x2 −7x)ln x − x44 − 32x2 +7x +C .

	x2						2											x2				x
	x2						2											x2				x
6.43.					−			ln(3x				+ 2) −								+			+C .					6.44. xtgx +ln								cos x			+C .
6.43.			2		−		9	ln(3x				+ 2) −					4			+		3	+C .					6.44. xtgx +ln								cos x			+C .


6.45.		x2 +1					arctgx −					x	+C .						6.46. −					ln x				−	1			+C .
6.45.			2				arctgx −					2	+C .						6.46. −					2x		2		−	4x2			+C .
			2									2												2x		2			4x2
			1								1		1						3			2								1							1	2					2		5
6.47.			1	t	3	+C					1		1					2				2		6.48.						1	t	2	+C				1	2					3		5
	−		3						= −		3					−1					−	3	.						−	4					= −		4				−1			+	4	.
	−								= −							−1					−		.						−						= −						−1			+		.
												x2																										x3
6.49. −t +C = −										1+ x2											6.50.				1		t	−1	+C = −					1			x					1
6.49. −t +C = −														+			2 .				6.50.						t	3	+C = −											+				.
											x														4									4	4 + x2						4	5
6.51.–1.					6.52. 100.							6.53					1 (F(x;2) − F (x; −3))+C .
																	5
6.54.		1 (2F(x;2) +3F(x; −3))+C .																			6.55.				1 F(15) −							1 F(7) .
	5																								2							2
6.56.		1 F(10) −							1 F(4) .						6.57.						1 F(14) −							1 F(6) . 6.58. 1 F(11) −														1 F(2) .
	3								3												4							4							3							3
6.59. 20.					6.60. 21/8.								6.61. 2								(	8 −1) .
																	3
6.62. π 6 . 6.63. 1 ln													5 .				6.64. 4 −2								2 .				6.65. 2. 6.66. 6.											6.67. 1.
										2			2
									1	2					63 .				6.70. 1						16		dt			4								3			dt
6.68. 9.				6.69.					1	∫t5dt =															∫		dt		= ∫dz =1.						6.71. ∫						dt		= ln 2 .
6.68. 9.				6.69.					2	∫t5dt =															∫			t	= ∫dz =1.						6.71. ∫					1+t			= ln 2 .
									2	1					12								2		9			t		3								1		1+t
										1															9					3								1

	1	1	dt			π
6.72.		∫			=		. 6.73. 600=6!-5!. 6.74. 3. 6.75. 13. 6.76. -2.
	7		1+t	2		28
		0

6.77. 1. 6.78. Расходится. 6.79. Расходится. 6.80.						1		при p >1,
6.77. 1. 6.78. Расходится. 6.79. Расходится. 6.80.						p −1		при p >1,
						p −1
Расходится при p ≤1. 6.81. 1 .		6.82. π . 6.83.	π		. 6.84. 2.				6.85.
Расходится при p ≤1. 6.81. 1 .		6.82. π . 6.83.			. 6.84. 2.				6.85.
	2			5				1
Расходится. 6.86. Расходится.		6.87. Расходится.			6.88.			1	при
Расходится. 6.86. Расходится.		6.87. Расходится.			6.88.		1	− p	при
							1	− p
p <1, расходится при p ≥1. 6.89. Расходится.				6.90. π .
					2
6.91. Сходится.	6.92.Сходится.	6.93. Сходится.		6.94. Расходится.
6.95. Сходится.	6.96. Сходится.	6.97. Сходится.			6.98. Сходится.

7.1.а) y = Cx . 7.1. б) y =Ce x . 7.1. в) y =C(x +1)e−x .

7.1.г) y =C(2x +1) . 7.1. д) x2 + y2 =C . 7.1. е) x2 + y2 = ln(Cx2 ) .

7.1. ж) y = 2 +C cos x . 7.1. з) x = 0 , ln x =C + y2 +1 . 7.1. и) y =1,

7.2.

7.4.

7.8.

+ y +ln	y −1	= −	1 +C .	7.2. а) y = 4ex+2 . 7.2. б) y =3x2 .

			x	y = eπ4 −arctg (x) .	7.3. 2( y +1)e−y = x2 +1.
в) y = 2(x +1) .
			7.2. г)
y = 0 . 7.5. y = e−x . 7.6. y = e x −2 .					7.7. y = −x .
а) x + y =Cx2 .			7.8. б) ln(x2 + y2 ) =C −arctg			y	.

						x

7.8. в)

x( y − x) =Cy ,

y = 0 .

7.8. г)

y =Ce

. 7.8. д) y2 − x2 =Cy ,

y = 0 .

7.9. а) y =Cx3 − x2 .

7.9.б)

y =

C −e−x2

7.9. в) y = ln x + C .

2x2

7.9. г)

y =Cx2 + x4 .

7.9. д)

xy =C −ln

7.9. е)

y = ex (ln

+C) .

7.9. ж)

y =C ln2 x −ln x . 7.10. а) y =

. 7.10. б) y(ex +Ce2x ) =1,

xln Cx

y = 0 .

7.10. в) y2 =

ex2

7.10. г)

y =

−ln x

2x+C

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.2019540.18 Кб4сборник 2.rtf
#
09.11.2019200.19 Кб26Сборник Essay.doc
#
26.03.20161.04 Mб323Сборник задач по высшей математике.pdf
#
10.11.20193.13 Mб10Сборник инд.зад. по электронике.doc
#
13.11.20191.09 Mб28Сборник тестов по СГМУ.doc
#
02.06.2015364.24 Кб26Сборник+задач.Часть+2.pdf
#
02.06.20154.04 Mб48сборник_конституционное_право_и_политика.pdf
#
25.11.2019847.87 Кб24Сборник_практ.doc
#
26.08.201957.64 Кб0Свойства и получение металов Билеты в.2 номера...docx
#
06.05.2019175.62 Кб2СВОЙСТВА РАСТВОРОВ (3).doc
#
02.06.2015268.29 Кб18Семейное_право практикум.doc