ЛЕКЦИЯ 01_Л.А

умножая 2-ю строку, как опорную, на подходящие числа, обнуляем все элементы второго столбца, лежащие в нем под созданной единицей, как это делалось в первом столбце;

продолжаем эту процедуру до тех пор, пока главная диагональ не будет заполнена единицами, а все позиции под ней – нулями. В результате в полученной матрице последняя строка совпадет с последней строкой En ;

умножая эту строку на подходящие числа, обнуляем в последнем столбце все элементы над единицей, после чего предпоследняя строка преобразуемой матрицы будет совпадать с предпоследней строкой En ;

умножая предпоследнюю строку на подходящие числа, обнуляем в предпоследнем столбце все элементы над единицей;

продолжаем процесс, пока не получится En .

Часть текущей опорной строки до диагональной единицы включительно совпадает с аналогичной частью строки с тем же номером в единичной матрице. После обнуления элементов столбца под этой единицей содержащая ее строка вплоть до заполнения единицами всей главной диагонали не участвует в дальнейших преобразованиях, так что они «не портят» накопленных к текущему моменту нулей под главной диагональю.

Их не портит и обратный ход, поскольку текущая опорная строка, используемая для обнуления элементов в столбце над своей диагональной единицей, заполнена слева от нее только нулями.

Докажем, что матрица A обратима. В самом деле, пусть N количество использованных в схеме (1.12) элементарных преобразований. Очевидно, оно конечно вследствие конечности числа элементов в A . Каждое из таких преобразований равносильно умножению матрицы A слева на реализующую его матрицу K j M n, j 1, N , так что совокуп-

ность шагов редукции A En эквивалентна равенству

Л Е К Ц И Я 1

Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 32 ►

Отметим, что сделанный вывод не зависит от специфики преобразований и если допустить, что способ сведения A к En неединственный, то при всех различиях в количе-

стве и виде матриц K j , реализующих последовательные шаги преобразования, их произ-

ведением будет одна и та же матрица A 1 , обратная к A .

 Таким образом, квадратная матрица, редуцируемая к En элементарными преобра-

зованиями строк, обратима.

2. Если бы для всех матриц A M n была осуществима процедура (1.12) сведения к En , то все они были бы обратимы, что противоречит имеющейся в нашем распоряжении информации о существовании необратимых матриц. Поэтому понятно, что для некоторых квадратных матриц при попытке реализации алгоритма исключения должны возникать непреодолимые препятствия к доведению его до конца в описанном виде.

Предположим, что k первых диагональных позиций уже заполнены единицами, а элементы во всех позициях под ними обнулены. Следующий шаг алгоритма не сможет быть сделан в том и только том случае, когда в оставшихся n k строках столбец с номером k 1 будет состоять из одних нулей (показан цветом на следующей иллюстрации).

блок из нулей размеров [(n k) (k 1)] в первых k 1 столбцах

При этом окажется невозможным при помощи элементарных преобразований этих n k строк, которые только и могут пока участвовать в дальнейших шагах редукции, по-

Л Е К Ц И Я 1

лучить отличное от нуля, а затем и равное единице число на следующей диагональной позиции с индексами (k 1, k 1) .

Поскольку в последних n k строках первых k 1 столбцов преобразованной матрицы будет стоять прямоугольный блок из нулей, имеющий размеры [(n k) (k 1)], через который не проходит только k строк матрицы, то среди любых k 1 строк, взятых в указанных столбцах, одна необходимо окажется нулевой. В Лекциях 2–5 будут получены дополнительные сведения, позволяющие вывести отсюда необратимость матрицы A , обусловленную линейной зависимостью ее столбцов. Наоборот, обратимость A оказывается иной формой выражения их линейной независимости. Стало быть, невозможность вы-

полнить преобразование A En методом исключения означает A 1 .

Как будет видно из дальнейшего, линейная зависимость (независимость) системы столбцов представляет собой внутреннее свойство этой системы, не зависящее от метода его обнаружения. Поэтому никакая другая последовательность элементарных преобразований строк матрицы A , отличная от (1.12), гарантированно не приведет ее к единичной.

 Итак, если квадратную матрицу A M n невозможно преобразовать в единичную

матрицу En элементарными преобразованиями строк, то она необратима.

Полученные в п.п. 1, 2 выводы доказывают сформулированный выше критерий обратимости квадратной матрицы.

Замечания

1). Частными случаями описанной выше ситуации, препятствующей сведению A к En

при помощи элементарных преобразований (1.12), являются следующие.

а). Возникновение в преобразуемой матрице на некотором шаге строки, состоящей из одних нулей. Ясно, что раз возникнув, такая строка дальше уже не будет меняться в алгоритме исключения, поскольку в ней нет элемента, который требовалось бы обнулить при помощи комбинирования с любой лежащей выше нее опорной строкой, на каком бы очередном диагональном месте в ней ни стояла единица. Однако, в матрице En последней стадии преобразований при условии обратимости A нет нулевой строки, так что ее появление является признаком (критерием) отсутствия у A обратной матрицы.

Может оказаться, что к моменту возникновения нулевой строки наращивание диагонали из единиц все еще возможно. Тем не менее, довести его до конца не удастся, по-

Л Е К Ц И Я 1

скольку в крайнем случае эта строка займет последнее место в преобразуемой матрице и

сама сыграет роль упоминавшегося выше нулевого блока размеров [(n k ) (k 1)]

n 1

(1 n) , так что невозможно будет обеспечить 1 в n й диагональной позиции.

Если же этого не случится, то тупиковая ситуация, характеризуемая фразой «нечего поставить на очередное диагональное место», возникнет еще раньше31.

б). Наличие в самой матрице A нулевого столбца. И в этом случае сразу ясно, что A 1 ,

поскольку элементарные преобразования строк не меняют этого нулевого столбца, а его нет в En . Если такой столбец стоит в A на r м месте, то алгоритм исключения нельзя будет продолжить после формирования (r 1) й единицы на главной диагонали и нулей

r 1

Вчастности, если в A из одних нулей состоит ее 1-й столбец, то ясно, что в процедуре (1.12) нельзя сделать уже 1-й шаг, а в качестве нулевого блока выступит сам этот

столбец: [(n k ) (k 1)] (n 1) .

0

▲ Возможно ли, что если нулевого столбца первоначально нет в матрице A , то он появит-

ся в ней на некотором шаге алгоритма исключения?

2). В случае, если по условию решаемой задачи нужно только узнать, обратима ли матри-

ца A M n , а искать A 1 не требуется, то достаточно выяснить, можно ли сформировать методом исключения в преобразуемой матрице диагональ из единиц, то есть довести алгоритм до стадии, отмеченной в схеме (1.12) значком « ».

Действительно, если диагональ из единиц может быть сформирована, то нет ника-

ких препятствий для завершения обратным ходом преобразования A En A 1 . Иначе матрица A необратима.

31 Возникновение нулевой строки означает линейную зависимость строк в матрице A , влекущую ее необратимость (см. Лекцию 3). Поэтому и при любой другой, отличной от (1.12), последовательности элементарных преобразованиях строк в A , ведущей к такому возникновению, вывод будет тем же: A 1 .

Л Е К Ц И Я 1

2). третья строка поставлена на первое место и все элементы первого столбца, кроме первого, обнулены по схеме (1.12): r1 r3 , r2 r2 2r1 , r4 r4 r1 ;

3). вторая строка с получившейся единицей на втором диагональном месте комбинируется с лежащими ниже строками: r3 r3 r2 , r4 r4 2r2 .

Поскольку все элементы четвертой строки в зоне A при этом обращаются в нуль, то заключаем отсюда, что A 1 , то есть матрица A необратима.

Л Е К Ц И Я 1

(проверьте правильность ответа).

4). Как следует из приведенного на стр.18 определения матрицы перестановки, она получается из единичной матрицы того же размера изменением порядка следования строк (докажите). Отсюда сразу вытекает обратимость любой матрицы перестановки, поскольку она редуцируется к единичной матрице одними только перестановками строк.

Предположим, что в некоторой матрице перестановки A M n на k м месте сре-

ди ее строк, нумеруемых сверху вниз, стоит i я строка единичной матрицы. В расши-

ренной матрице A En против нее справа расположена k я строка единичной матрицы.

Если теперь, следуя схеме (1.12), переместить в зоне A i ю строку единичной матрицы с k го места на «родное» i е место, то одновременно с этим в зоне A 1 k я строка еди-

ничной матрицы окажется на i м месте среди строк A 1 .

Таким образом, если в матрице A имеется единица с индексами (k,i) , то в матрице

A 1 имеется единица с индексами (i, k) . Поскольку кроме единиц элементами обеих мат-

риц A , A 1 являются только нули, то это означает, что обратной для матрицы переста-

Л Е К Ц И Я 1

новки является ее транспонированная матрица AT : A 1 AT . Следовательно, любая матрица перестановки является ортогональной.

Пример:

▲ Предположим, что кто-то захотел бы редуцировать A к En путем элементарных преоб-

разований столбцов, а не строк. Возможно ли это? Если ответ положительный, то объясните подробно последовательность шагов такого преобразования. Где следовало бы в этом случае присоединить En к A ?

Обращение Мура–Пенроуза. Псевдообратные матрицы

Операция обращения была определена выше только для квадратных матриц, причем не все они имели обратную матрицу. В ряде случаев целесообразно снять оба эти ограничения, построив обобщение понятия обратной матрицы на случай произвольных матриц A M m , n . Одним из таких обобщений является обращение Мура-Пенроуза (МП-

обращение).

Л Е К Ц И Я 1

Определение

ношению к A .

Свойства псевдообратных матриц

1 . A A 1 для любой квадратной невырожденной матрицы.

9 . A( AT A) AT A A AAT ( AAT ) A .

10 . A ( AT A) AT AT ( AAT ) .

11 . A O A O.

12 . AB O B A O.

13 . A B O AT B O.

Л Е К Ц И Я 1

Псевдообратные матрицы находят широкое применение в различных разделах линейной алгебры, в частности в ее приложениях к задачам экономико-статистического моделирования.

▲ Проверьте, что МП-обращение обладает перечисленными выше свойствами и убедитесь в справедливости следующих утверждений:

1). Для любой нулевой матрицы МП-обратная матрица совпадает с транспонированной.

=======================================================================

Краткая биографическая справка

■Кронеккер Леопольд (1823–1891 г.г.) – немецкий математик.

■Мур Элиаким Гастингс (1862–1932 г.г.) – американский математик.

■Пенроуз Роджер (1931 г. – ) – английский математик.

Л Е К Ц И Я 1