ЛЕКЦИЯ 02_Л.А

Последние равенства в обеих цепочках вытекают из свойства 12 , в соответствии с которым линейная оболочка произвольной системы векторов совпадает с линейной оболочкой ее базы, которая по определению линейно независима.

Отсюда по свойству 10 монотонности числа линейно независимых векторов и с учетом того, что число векторов базы не превосходит числа векторов системы, получаем систему неравенств

m число строк в базе системы строк B n

n число столбцов в базе системы столбцов B m .

Очевидно, выражаемые ею ограничения на размеры сомножителей совместны только при m n , то есть когда A и B взаимно обратные матрицы.

Заметим дополнительно, что если m n , то матрица AB(m m) не может оказаться

единичной, поскольку в противном случае m ее линейно независимых строк e1 , , em

оказались бы линейными комбинациями n m строк матрицы B , среди которых линейно независимых не более n . Это повлекло бы вложенность линейной оболочки m линейно независимых векторов в линейную оболочку меньшего чем m числа линейно независи-

мых векторов (например, векторов базы brB ), что исключено по свойству 10 . Таким обра-

зом, в данном случае единичной матрицей может быть только BA .

Точно так же при m n противоречиво допущение, что BA En : n линейно неза-

висимых столбцов En оказались бы линейными комбинациями m n столбцов матрицы

B , среди которых количество линейно независимых столбцов не превышает m . Следовательно, в случае m n единичной матрицей может быть только та из двух

матриц AB , BA , которая имеет меньший порядок.

Л Е К Ц И Я 1

Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 22 ►

В терминах введенного выше понятия максимальной линейно независимой подсистемы векторов можно усилить следствие из свойства монотонности 10 , доказывающее невозможность построения из k линейно независимых векторов количества линейно независимых линейных комбинаций, большего чем k .

А именно, можно утверждать, что если множество векторов W , необязательно конечное, содержит максимальную линейно независимую систему { smax }, состоящую из k

векторов, то из его векторов невозможно построить линейным комбинированием превышающего k числа линейно независимых векторов.

Действительно, справедливо включение W L(smax ) , поскольку если в множестве

W есть вектор v0 , неразложимый по {smax }, то в системе { smax ;v0 } ненулевых векто-

ров из W ни один не разлагается по предыдущим. Но тогда эта система линейно независима, что исключено по смыслу {smax } . Если из векторов множества W удалось бы по-

строить m k линейно независимых линейных комбинаций, то их линейная оболочка лежала бы в L(smax ) , что запрещено свойством монотонности 10 .

▲ Приведите пример бесконечного множества векторов, не являющегося линейной обо-

лочкой ни для какой конечной системы лежащих в нем векторов.

13 .ТЕОРЕМА О РАЗМЕРНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКИ

Размерность линейной оболочки системы векторов {a} {a1 , , ak } не превосходит количества векторов в системе: dim L(a1 , , ak ) k .

Доказательство:

Если система {a} содержит ненулевой вектор, то существует ее база, которая явля-

ется по теореме 12 базисом в L(a) . Будучи подсистемой в системе из k векторов, база содержит не превосходящее k количество векторов. Но это количество по определению и есть размерность линейной оболочки L(a1, , ak ) .

В случае, когда {a} { } , то есть система состоит из одних нулевых векторов, dim L( ) 0 , а число нулевых векторов в { } не меньше одного, так что доказываемое неравенство вновь выполнено.

Л Е К Ц И Я 1

14 . В системе векторов и ее линейной оболочке одно и то же максимальное количество

линейно независимых векторов. Иными словами, базис линейной оболочки системы

векторов можно трактовать как максимальную линейно независимую систему векторов этой линейной оболочки.

Доказательство:

Положим V L(a1 , , ak ) и пусть {e1 , , em } базис этой линейной оболочки. Та-

ким образом, в ней есть m линейно независимых векторов. Допустим, что в V имеется r m линейно независимых векторов b1 , ,br .

Поскольку множество линейных комбинаций базисных векторов исчерпывает линейную оболочку V , то ее векторы b сами являются некоторыми линейными комбинациями векторов e . Тогда и любая линейная комбинация векторов b некоторая линейная комбинация указанных векторов. Отсюда вытекает, что L (b) L (e) .

По свойству 10 с учетом линейной независимости систем {b} и {e} заключаем,

что r m . Полученное противоречие доказывает, что в оболочке L(a) нет большего чис-

ла линейно независимых векторов, чем в ее базисе. Следовательно, базис в V это мак-

симальная линейно независимая система векторов V .

Верно и обратное утверждение: максимальная линейно независимая система векторов оболочки V является ее базисом (докажите).

По теореме 12 любая база системы есть базис ее линейной оболочки, а по теореме 11 все базисы линейной оболочки содержат одинаковое количество векторов, равное dimV . Поэтому число векторов в максимальной линейно независимой системе векто-

ров оболочки, то есть в ее базисе, – такое же, как и в базе системы {a1 , , ak } , породив-

шей оболочку V и равно dimV .

Следствие

Любая линейно независимая система векторов линейной оболочки V некоторой системы векторов, состоящая из dimV векторов, есть базис в V .

Действительно, любая линейно независимая система, содержащая dimV векторов линейной оболочки V , есть ее максимальная линейно независимая система, то есть базис этой оболочки.

Л Е К Ц И Я 1

Множество базисов линейной оболочки V некоторой системы векторов совпадает

с множеством линейно независимых систем, состоящих из dimV векторов оболочки V .

15 . В дополнение к свойству 10 докажем следующее утверждение: если {b} {b1 , ,bm } ,

Доказательство:

Очевидно, dim L (a) m , поскольку {a1 , , am } максимальная линейно независи-

мая подсистема в {a} . Заметим, что раз L (b) L (a) , то все векторы b1, ,bm , как частные формы линейных комбинаций векторов системы {b}, лежат в линейной оболочке L (a) :

b1 , ,bm L (a1 , , a m ) .

Теперь допустим, что в линейной оболочке L (a) есть вектор a0 , неразложимый по системе {b} и рассмотрим систему из (m 1) го вектора {b1 , ,bm ; a0 } . Каждый из них принадлежит L (a) , все они ненулевые и ни один из них не разлагается по предыдущим.

Отсюда по следствию из свойства 3 вытекает, что эта система линейно независима. Од-

Л Е К Ц И Я 1

Критерий обратимости матрицы в форме линейной независимости системы ее столбцов

Используя свойства 14 , 15 , можно доказать следующий важный критерий обратимости, который дополнительно будет обсуждаться в Лекции 3, посвященной определителям квадратных матриц.

ТЕОРЕМА

Матрица A M n обратима в том и только том случае, когда система ее столбцов линейно независима.

Доказательство:

1). Пусть столбцы a i , i 1, n матрицы A M n линейно независимы. По свойству 7 сис-

тема векторов {e} {e1 , , en } линейно независима и является базисом в своей линейной оболочке L L(e) , то есть в множестве всех числовых столбцов размеров (n 1) . На ос-

новании следствия из 14 можем утверждать, что система {a i }, i 1, n также является ба-

зисом в L .

изведении двух матриц, представим ее уравнения в следующем виде:

AXi a 1 x1i a n xni ei , i 1, n .

По свойству 8 каждый из векторов ei разлагается по линейно независимой систе-

ме {a i }, i 1, n единственным образом, так что векторы Xi , составленные из соответст-

вующих коэффициентов этих разложений, определены однозначно.

Пусть X= ( X1 X n ) M n составленная из этих столбцов матрица. Тогда для столбцов произведения AX имеем ( AX) i AXi ei , i 1, n , откуда следует, что

AX En . Это равенство доказывает существование в M n матрицы X=, при умножении на которую исходной матрицы A получается единичная матрица n го порядка.

Л Е К Ц И Я 1

Предположим, что линейная комбинация столбцов матрицы X равна нуль-вектору:

n

i Xi , или в матричной форме X , где ( 1 n )T . Умножив предпослед-

i 1

нее равенство слева на A , получаем A X ( AX) En A , что означает ли-

нейную независимость системы столбцов Xi , i 1, n .

Стало быть, по доказанному выше и для матрицы X найдется такая матрица B M n , что XB En . Умножив это равенство слева на матрицу A , находим

рицы X : AX En X A 1 .XA En

Итак, матрица A с линейно независимыми столбцами обратима.

2). Пусть матрица A обратима, то есть имеет обратную матрицу A 1 . Рассмотрим линей-

зана (докажите, что в утверждении теоремы столбцы матрицы можно заменить ее строками).

16 . Пусть { s} система векторов, L (s) ее линейная оболочка и { s1} некоторая подсис-

тема в системе {s} . Тогда если линейная оболочка L(s1 ) содержит базис линейной оболоч-

ки L(s) , то L (s) L (s1 ) .

Доказательство:

Пусть dim L (s) m и {b} L (s1 ) , где {b} базис линейной оболочки L (s) . Тогда в L (s1 ) гарантировано наличие m линейно независимых векторов – это базисные векторы b .

Л Е К Ц И Я 1

Далее, любой вектор из L (s1 ) , как линейная комбинация векторов подсистемы в { s} , явля-

ется и линейной комбинацией векторов всей системы {s} . Следовательно, такой вектор разложим по {b} и поэтому в L (s1 ) нет большего чем m числа линейно независимых век-

торов. По свойству 14 это означает, что dim L (s1 ) m , а тогда {b} является также и бази-

сом в оболочке L (s1 ) . Отсюда по определению базиса линейной оболочки следует, что

L(b) L (s) L (s1 ) .

В частности, если при указанных условиях в подсистему { s1} входит m dim L (s)

векторов, то очевидно, что {b} {s1}, то есть подсистема {s1} в рассматриваемом случае сама является базисом в L (s) и вL (s1 ) .

Дополнение до базиса

Предположим, что дана система векторов {a} {a1 , , ak } и в ее линейной оболоч-

ке V L (a) найдены линейно независимые векторы b1 , ,bm . Спрашивается, нельзя ли использовать их как «материал» для построения некоторого базиса в V , если система {b1 , ,bm } еще не базис? Ответ на поставленный вопрос дается следующим утверждени-

ем.

17 . Любая линейно независимая система векторов в оболочке L (a) , не являющаяся ее базисом, является подсистемой некоторого ее базиса и может быть дополнена до него.

Доказательство:

В самом деле, к любой такой системе можно присоединить еще один вектор, неразложимый по ее векторам, иначе любой вектор из V линейно выражался бы через векторы системы и она сама была бы базисом.

После такого присоединения получается линейно независимая система с увеличившимся на 1 числом векторов. Обоснуем ее линейную независимость. Поставим добавляемый к системе вектор на последнее место и получим систему, в которой, во-первых, все векторы ненулевые, и, во-вторых, ни один из них не разлагается по предыдущим. По свойству 3 не было бы возможно, если бы система была линейно зависима.

Описанную процедуру следует повторять до тех пор, пока число векторов в системе не станет равно dimV , а сама эта система – базисом в V .

Л Е К Ц И Я 1

▲ Векторы a1 , , ak 1 линейно независимы. Докажите, что в линейной оболочке

L(a1 , , ak 1 ) существует базис, не содержащий ни одного вектора из линейной оболочки

L(a1 , , ak ) .

Замечание о существовании базиса

Из сказанного в предыдущем пункте вытекает, что базис в линейной оболочке L(a) некоторой системы векторов {a} существует, если в ней существует линейно независимая система векторов. Такой системы не отыщется лишь в одном случае – когда линейная оболочка нулевая, то есть состоит из единственного вектора L(a) . Это в свою очередь возможно тогда и только тогда, когда система векторов, породившая оболочку, состоит только из нулевых векторов: {a} { } { , , } (докажите). В соответствии с определением в такой системе нет базы, что немедленно влечет и отсутствие базиса в ее линейной оболочке (докажите).

 Линейная оболочка конечной системы векторов – это пример так называемого линейного пространства. Линейным пространствам и их свойствам будет уделено значительное место в данном курсе линейной алгебры. В рамках общего аксиоматического подхода отвлекаются от конкретного вида составляющих пространство элементов, называемых векторами. Для них определяются операции умножения на числа и сложения, а затем вводятся понятия линейной зависимости и независимости. Оказывается, линейное пространство может быть устроено так, что в нем для любого n существует система из n линейно независимых векторов. В этом случае оно называется бесконечномерным12.

В противоположность этому, линейное пространство, в котором имеется максимальная линейно независимая система векторов, называется конечномерным. Всякое конечномерное линейное пространство представляет собой линейную оболочку некоторой конечной системы своих векторов, в частности, любой максимальной линейно независимой их системы. Как и в случае линейных оболочек систем числовых столбцов, такая система векторов конечномерного линейного пространства называется его базисом, а количество векторов в нем – размерностью пространства. В соответствии с этим считается, что в бесконечномерном линейном пространстве нет базиса.

12 Бесконечномерные линейные пространства изучаются в разделе математики под названием «функциональный анализ».

Л Е К Ц И Я 1

РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Определение

Пусть дана система векторов S . Количество векторов ее базы, совпадающее с раз-

мерностью ее линейной оболочки L(S) , называется рангом системы и обозначается

Rg S . По определению полагают Rg 0 ранг системы, состоящей из нулевых векторов,

равен нулю.

 Из свойств 11 , 12 вытекает следующее важное утверждение:

ранг системы векторов равен максимальному числу линейно независимых векторов в этой системе.

СВОЙСТВА РАНГА СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

a). Ранг системы векторов не превосходит числа векторов в системе (это очевидное след-

ствие теоремы о размерности линейной оболочки, пункт 13 ).

b). Если система векторов линейно зависима, то ее ранг меньше числа векторов в системе,

а если она линейно независима, то он равен числу векторов в ней (докажите).

c). Если каждый вектор системы S1 разлагается по векторам системы S2 , то Rg S1 Rg S2 .

Действительно, пусть B1 , B2 базы систем S1 , S2 соответственно. Поскольку база

системы векторов – это базис ее линейной оболочки, то по определению L(B1 ) L (S1 ) ,

L(B2 ) L (S2 ) . Далее, каждый вектор системы S1 разлагается по векторам системы S2 , так

что L (S1 ) L (S2 ) , а тогда и L(B1 ) L(B2 ) . Из свойства 10 монотонности числа линейно

независимых векторов вытекает, что число векторов в базе B1 , равное dim L(B1 ) Rg S1 ,

не превосходит числа векторов в базе B2 , равного dim L(B2 ) Rg S2 .

Следовательно, Rg S1 Rg S2 , что и требовалось доказать.

Л Е К Ц И Я 1

Следствия

1). Если для двух систем векторов S1 , S2 всякий вектор первой из них разлагается по век-

торам второй и одновременно всякий вектор второй системы разлагается по векторам первой, то Rg S1 =Rg S2 .

2). Ранг системы векторов не изменится, если в ней поменять местами два вектора.

3). Ранг системы векторов не изменится, если некоторый вектор системы умножить на число, не равное нулю.

4). Ранг системы векторов не изменится, если к некоторому ее вектору прибавить другой ее вектор.

5). Каждая линейно независимая подсистема системы S , состоящая из k Rg S векторов,

является базой системы S (докажите сформулированные утверждения).

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ13

Аналогично тому, как это было сделано в Лекции 1 для строк или столбцов матри-

цы, определим элементарные преобразования векторов в некоторой их системе как пере-

ход от нее к новой системе при помощи одного из перечисленных ниже действий.

1.Перестановка (транспозиция) двух векторов системы.

2.Умножение вектора системы на число, не равное нулю.

3.Прибавление к вектору системы другого ее вектора.

Комбинируя эти три действия, можно построить более сложные преобразования системы. Например, изменение порядка (произвольная перестановка) векторов системы представляет собой композицию перестановок пар векторов системы, а сложение вектора системы с другим ее вектором, умноженным на число, есть композиция 2 3 2 перечис-

ленных типов элементарных преобразований системы, обозначенных их порядковыми номерами.

13 Вместо слов «элементарные преобразования системы векторов» часто говорят «элементарные преобразования векторов системы».

Л Е К Ц И Я 1