Линейное программирование

§1. Предмет и содержание курса линейного программирования.

Линейное программирование изучает методы решения задач на экстремум, возникающих при планировании и организации производства. Из множества возможных решений конкретных экономических задач требуется выбрать по какому-либо признаку наилучшее или оптимальное решение.

Задача о диете питания.

Из имеющихся продуктов (хлеб, мясо, молоко, картофель и т.д.) требуется составить такую диету питания, которая удовлетворяла бы минимальным потребностям организма в питательных веществах (жиры, углеводы, витамины, аминокислоты и т.д.) и требовало бы наименьших затрат.

Для решения задачи, прежде всего, составим её математическую модель, т.е. сформулируем задачу в математической форме.

Питательные вещества Продукты	Q1 (жиры)	Q2 (углеводы)	…	Qi (витамины)	…	Qn (амино-кислоты)	Кол-во продукта	Цена продукта
Р1 (хлеб) P2 (молоко) … Pj (мясо) … Pm (картофель)	a11 a12 … a1j … a1m	a21 a22 … a2j … a2m		ai1 ai2 … aij … aim		an1 an2 … anj … anm	x1 x2 … xj … xm	c1 c2 … cj … cm

Обозначим a_ij – удельное содержание питательного вещества Q_i в P_j;

b₁, b₂, …, b_n – количество питательных веществ Q₁, Q₂, …, Q_n, меньше которых употреблять в пищу не рекомендуется (физиологические нормы) (известные числа);

X=(x₁, x₂, …, x_m) – рацион питания.

Подсчитаем количество вещества Q₁ в рационе X.

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_imx_m – количество вещества, которое войдёт в рацион X.

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_imx_m

такое же неравенство можно составить для каждого питательного вещества, в результате получим систему неравенств.

По смыслу задачи все компоненты X должны быть неотрицательными.

Вектор X, координаты которого являются решением (1) и (2), называется допустимым рационом питания

(3) - стоимость рациона.

Теперь можно дать математическую формулировку задачи: найти вектор X, который является решением ограничений (1) и (2), и на котором функция (3) достигает минимума.

Функцию f(X) называют целевой функцией.

В рассмотренной задаче целевая функция и системы ограничений (1) и (2) линейны относительно всех входящих в задачу неизвестных, такие задачи называются задачами линейного программирования.