лабораторна робота 7.

Тема. Імовірнісні моделі управління запасами з неперервним контролем рівня запасу

Теоретичні відомості:

Модель управління запасами з урахуванням імовірнісної природи попиту.

В моделі припускається існування постійного запасу протягом усього планового періоду, розмір якого встановлюється так, щоб імовірність його виснаження протягом періоду виконання замовлення (інтервалу між моментом розміщення замовлення і його постачанням) не перевищувала наперед заданої величини.

Введемо такі позначення: L – термін виконання замовлення, тобто час від моменту розміщення замовлення до його постачання; – випадкова величина, що представляє величину попиту протягом терміну виконання замовлення; – середня величина попиту протягом терміну виконання замовлення; – середньоквадратичне відхилення величини попиту протягом терміну виконання замовлення; B – розмір резервного запасу;  – максимально можливе значення імовірності виснаження запасу протягом терміну виконання замовлення.

Основним припущенням при побудові моделі є те, що величина попиту протягом терміну виконання замовлення L є нормально розподіленою випадковою величиною із середнім і стандартним відхиленням , тобто має розподіл . Зазначимо, що L повинно дорівнювати ефективному часові виконання замовлення. Імовірнісна умова, що визначає розмір резервного запасу B, має вигляд

або ,

де величина визначається з таблиці стандартного нормального розподілу, так що .

Величина попиту протягом терміну виконання замовлення L звичайно описується щільністю розподілу імовірностей, віднесеної до одиниці часу (наприклад, до дня або тижня), з якої можна визначити розподіл попиту протягом періоду L. Зокрема, якщо попит за одиницю часу є нормально розподіленою випадковою величиною із середнім D і стандартним відхиленням , то загальний попит протягом терміну виконання замовлення L буде мати розподіл , де і . Формула для , отримана на підставі того, що значення L є цілим числом (або ж округлене до цілого числа).

Приклад 1. Неонові лампи в університетському містечку заміняються з інтенсивністю 100 штук у день. Підрозділ матеріального забезпечення містечка замовляє ці лампи з визначеною періодичністю. Вартість розміщення замовлення на купівлю ламп складає 100 г.о. Вартість збереження лампи на складі оцінюється в 0.02 г.о. в день. Термін виконання замовлення від моменту його розміщення до реального постачання дорівнює 12 днів. Визначено економічний розмір замовлення в 1000 ламп та ефективний час його виконання L, що дорівнює 2 дні. Потрібно визначити розмір резервного запасу таким чином, щоб імовірність виснаження запасу не перевищувала =0.05 за умови, що денний попит є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням D=100 ламп і середньоквадратичним відхиленням =10 ламп, тобто має розподіл N(100, 10).

Маємо

одиниць, одиниць.

З таблиці стандартного нормального розподілу визначаємо . Отже, розмір резервного запасу: неонові лампи.

При економічному розмірі замовлення одиниць оптимальна політика управління запасами з обсягом резерву B складається у замовленні 1000 ламп, як тільки обсяг запасу зменшується до 223 одиниць ( ).

Стохастичний варіант моделі економічного розміру замовлення

На відміну від попереднього випадку, у новій моделі допускається незадоволений попит. У розглянутій моделі замовлення розміром y розміщається тоді, коли обсяг запасу досягає рівня R. Як і в детермінованому випадку, рівень R, при якому знову розміщається замовлення, є функцією періоду часу між розміщенням замовлення і його виконанням. Оптимальні значення y і R визначаються шляхом мінімізації очікуваних витрат системи управління запасами, віднесених до одиниці часу, що включають як витрати на розміщення замовлення і його збереження, так і втрати, пов'язані з незадоволеним попитом.

Для визначення функції, що відображає сумарні витрати, віднесені до одиниці часу, уведемо наступні позначення: – щільність розподілу попиту x протягом терміну виконання замовлення; D – очікуване значення попиту в одиницю часу; h – питомі витрати на збереження (на одиницю продукції за одиницю часу); p – питомі втрати від незадоволеного попиту (на одиницю продукції за одиницю часу); K – вартість розміщення замовлення. Тоді компоненти функції витрат обчислюються так.

1. Вартість розміщення замовлень. Наближене число замовлень в одиницю часу дорівнює , так що вартість розміщення замовлень в одиницю часу дорівнює .

2. Очікувані витрати на збереження. Середній рівень запасу дорівнює

.

Отже, очікувані витрати на збереження за одиницю часу рівні .

3. Очікувані втрати, які пов'язані з незадоволеним попитом. Дефіцит виникає при . Отже, очікуваний дефіцит за одиницю часу дорівнює

.

Оскільки в моделі передбачається, що p пропорційно лише обсягові дефіциту, очікувані втрати, які пов'язані з незадоволеним попитом, за один цикл дорівнюють . Оскільки одиниця часу містить циклів, то очікувані втрати, зумовлені дефіцитом, складають за одиницю часу.

Результуюча функція загальних втрат за одиницю часу TCU має такий вигляд.

.

Оптимальні значення і визначаються з представлених нижче рівнянь.

, .

Отже, маємо

, (1)

. (2)

Оскільки з рівнянь (1) і (2) і не можна визначити в явному вигляді, для їх знаходження використовується чисельний алгоритм, запропонований Хедлі й Уайтін. Доведено, що алгоритм збігається за скінченне число ітерацій при умові, що допустимий розв’язок існує.

При останні два рівняння відповідно дають наступне.

, .

Якщо , тоді існують єдині оптимальні значення для y і R. Обчислювальна процедура визначає, що найменшим значенням є , яке досягається при S=0. Алгоритм складається з наступних кроків.

Крок 0. Приймаємо за початковий розв’язок і вважаємо . Кладемо i=1 і переходимо до кроку i.

Крок i. Використовуємо значення для визначення з рівняння (2). Якщо , обчислення припиняють; за оптимальний розв’язок приймаємо і . В іншому випадку, використовуючи значення з рівняння (1) знаходимо . Кладемо i=i+1 і повторюємо крок i.

Приклад 2. Електротехнічна компанія використовує у виробничому процесі каніфоль у кількості 1000 галонів на місяць. Розміщення замовлення на нове постачання каніфолі обходиться фірмі в 100 г.о. Вартість збереження одного галона каніфолі протягом одного місяця дорівнює 2 г.о., а питомі втрати від її дефіциту – 10 г.о. за один галон. Статистичні дані свідчать про те, що попит у період постачання є випадковою величиною, рівномірно розподіленою від 0 до 100 галонів. Визначте оптимальну політику управління запасами для компанії.

Використовуючи прийняті в моделі позначення, маємо наступне: D=1000 галонів на місяць, K=100 г.о. за розміщення замовлення, h=2 г.о. за один галон на місяць, p=10 г.о. за один галон, f(x)=1/100, 0≤x≤100, M{x}=50 галонів.

Спочатку необхідно перевірити, чи існує допустимий розв’язок задачі. Використовуючи рівняння для і , одержимо наступне.

галонів, галонів.

Оскільки , то існує єдиний розв’язок для і . Вираз для S записується в наступному вигляді:

.

Використовуючи в рівняннях (1) і (2) вираз для S, одержимо наступне.

галонів, (3)

.

З останнього рівняння маємо

. (4)

Тепер використовуємо рівняння (3) і (4) для знаходження розв’язку.

Ітерація1.

галонів, галонів.

Ітерація 2.

галонів. галонів.

Отже, галонів.

Ітерація 3.

галонів. галонів.

Отже, галонів.

Оскільки значення і приблизно однакові, наближений оптимальний розв’язок визначається значеннями галонів, галонів.

Отже, оптимальне управління запасами полягає у розміщенні замовлення приблизно на 320 галонів, як тільки запас зменшується до 94 галонів.

Постановка задач:

Завдання 1. Виходячи з умови та розв’язку завдання 1 лабораторної роботи №4, визначте розмір резервного запасу таким чином, щоб імовірність виснаження запасу не перевищувала =0.05 за умови, що денний попит є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням D кг м’ясного фаршу і середньоквадратичним відхиленням =0.1D кг м’ясного фаршу.

Завдання 2. Вирішіть задачу з прикладу 2 у припущенні, що попит у період виконання замовлення є випадковою величиною, рівномірно розподіленою на інтервалі [0, 50+s+p+w] (галонів), де s – номер варіанту, w – кількість букв імені, p – кількість букв в прізвищі.