Лабораторні роботи Дослідження операцій / Лаб-роб-6 (ДО)

лабораторна робота 6.

Тема. Динамічні моделі управління запасами

Теоретичні відомості:

Модель при відсутності витрат на оформлення замовлення.

У цій моделі розглядається задача календарного планування виробництва розрахована на n рівних періодів. Можливі обсяги виробництва кожного з періодів обмежені, однак вони можуть включати кілька рівнів (наприклад, звичайним режимом роботи та понаднормове виробництво). Протягом поточного періоду можуть вироблятися вироби для наступних періодів, але в цьому випадку повинні враховуватися витрати на їх збереження.

Основні припущення моделі полягають у наступному: відсутність витрат на оформлення замовлення в будь-який період планування; відсутність дефіциту; вартість виробництва одиниці продукції в будь-який період або є постійною, або має зростаючі граничні витрати; вартість збереження одиниці продукції кожного періоду є постійною величиною.

Розглянуту задачу n-етапного планування можна сформулювати у вигляді транспортної задачі з kn пунктами виробництва і n споживачами, де k – кількість можливих рівнів виробництва протягом періоду. Виробничі можливості кожного з kn пунктів виробництва визначають обсяги постачань. Обсяги споживання визначаються обсягом попиту для кожного періоду. Собівартість "перевезення" від пункту виробництва до пункту призначення визначається сумою витрат використовуваного виробничого процесу і вартості збереження одиниці продукції. Оптимальний розв’язок такої транспортної задачі визначить обсяги виробництва продукції для кожного виробничого рівня, що мінімізують сумарні витрати на виробництво і збереження.

З урахуванням припущень про відсутність дефіциту й опуклості функції витрат на виробництво дану задачу можна розв’язати без використання методу розв’язання транспортних задач.

Приклад 1. Компанія виробляє спеціальні витяжки, що використовуються в домашніх камінах у період із грудня по березень. На початку опалювального сезону попит на цю продукцію низький, у середині сезону він досягає свого піка і зменшується до кінця сезону. З огляду на популярність продукції, компанія може використовувати понаднормові роботи для задоволення попиту на свою продукцію. Наступна таблиця містить дані про виробничі потужності компанії й обсяги попиту протягом чотирьох місяців.

Місяць	Можливості виробництва		Попит (одиниці)
	Звичайний режим роботи, од.	Понаднормові, од.
1 2 3 4	90 100 120 110	50 60 80 70	100 190 210 160

Вартість виробництва одиниці продукції дорівнює 6 доларів в умовах звичайного режиму роботи і 9 доларів при понаднормових роботах. Вартість збереження одиниці продукції протягом місяця дорівнює 0.10 г.о.

Щоб гарантувати допустимість розв’язку при відсутності дефіциту, потрібно, щоб сумарна пропозиція продукції (можливості виробництва) до початку кожного місяця щонайменше дорівнювало сумарному попитові. Про це свідчить наступна таблиця.

Місяць	Сумарна пропозиція	Сумарний попит
1	90+50=140	100
2	140+100+60=300	100+190=290
3	300+120+80=500	290+210=500
4	500+110+70=680	500+160=660

У табл. 1 подані дані, що відносяться до розглянутої задачі, і її розв’язку. Тут і відповідають рівням виробництва у звичайному і понаднормовому режимі роботи протягом періоду i, i=1,2,3,4. Оскільки сумарна пропозиція в четвертому періоді перевищує сумарний попит, то введений фіктивний пункт споживання (надлишок), щоб збалансувати. Усі "транспортні" маршрути з попередніх у поточний період заблоковані, тому що дефіцит відсутній.

Собівартості "перевезень" продукції обчислюються у вигляді суми витрат на виробництво і збереження. Наприклад, відповідна собівартість від до першого періоду дорівнює лише вартості виготовлення в 6 г.о., собівартість від до четвертого періоду – вартості виготовлення плюс вартість збереження від першого періоду до четвертого, тобто 9+(0.1+0.1+0.1)=9.30 г.о. Собівартість перевезення до фіктивного пункту споживання (надлишок) дорівнює нулеві.

Таблиця 1.

	1		2		3		4		Надлишок
R1		6		6.1		6.2		6.3		0	90
	90
O1		9		9.1		9.2		9.3		0	50
	10		30		10
R2				6		6.1		6.2		0	100
			100
O2				9		9.1		9.2		0	60
			60
R3						6		6.1		0	120
					120
O3						9		9.1		0	80
					80
R4								6		0	110
							110
O4								9		0	70
							50		20
	100		190		210		160		20

Оптимальний розв’язок отримується за один прохід, починаючи з першого стовпця у напрямку до стовпця "Надлишок". Для кожного перспективного стовпця попит задовольняється з використанням найдешевшого маршруту.

Починаючи з першого стовпця маршрут (R₁,1) має саму дешеву собівартість перевезення, і ми призначаємо перевезення максимально можливого обсягу, а саме min(90,100)=90 одиниць, що залишає 10 одиниць незадоволеного попиту в першому стовпці. Далі ми переходимо до наступного по собівартості маршруту (O₁,1) першого стовпця і визначаємо перевезення min(50,10)=10 одиниць, що тепер цілком задовольняє попит для першого періоду.

Після задоволення попиту для першого періоду ми переходимо до другого стовпця. Визначення перевезень у цьому стовпці здійснюється таким чином: 100 одиниць по маршруту (R₂,2), 60 одиниць по маршруту (O₂,2) і 30 одиниць по маршруту (,2). Цим маршрутам відповідають собівартості "перевезень" у 6, 9 і 9.10 г.о. При цьому маршрут (R₁,2), транспортні витрати на одиницю продукції для якого рівні 6.10 г.о., не розглядається, тому що весь запас R₁ був витрачений для першого періоду.

Продовжуючи аналогічним чином, ми задовольняємо попит для третього, а потім і четвертого стовпців. Відповідні сумарні витрати при цьому рівні

Модель з витратами на оформлення замовлення.

Передбачається, що дефіцит відсутній і витрати на оформлення замовлення враховуються кожного разу, коли починається виробництво нової партії продукції.

Дана задача управління запасами схематично представлена на рис. 1, де використані такі позначення величин, визначених для кожного етапу i, i=1,2,...,n: – обсяг замовлення; – потреба в продукції (попит); – обсяг запасу на початок етапу i.

Рис. 1

Вартісні елементи в задачі: – витрати на оформлення замовлення, – витрати на збереження одиниці продукції, що переходить з етапу i в етап i+1. Відповідна функція виробничих витрат для етапу i задається формулою

де – функція граничних виробничих витрат при заданому значенні .

Оскільки дефіцит не допускається, то задача управління запасами зводиться до знаходження значень , що мінімізують сумарні витрати, які пов'язані з розміщенням замовлень, закупівлею і збереженням продукції протягом n етапів. Витрати на збереження на i-му етапі для простоти вважаються пропорційними величині , яка представляє собою обсяг запасу, що переходить з етапу i в етап i+1.

Для побудови моделі динамічного програмування зручно скористатися рекурентними співвідношеннями процедури прямої прогонки, для яких стан на етапі i визначається як обсяг запасу на кінець етапу ().

Нехай – мінімальні загальні витрати на етапах 1,2,...,i при заданій величині запасу на кінець етапу i. Тоді рекурентне рівняння алгоритму прямої прогонки буде записано таким чином:

,

.

Приклад 2. Потрібно знайти оптимальну стратегію в трьохетапній системі управління запасами, що формулюється нижче. Початковий запас дорівнює одиниці продукції. Передбачається, що граничні витрати на придбання продукції складають 10 г.о за кожну одиницю для перших трьох одиниць і 20 г.о. – за кожну додаткову одиницю.

Період i	Попит Di од.	Витрати на оформлення замовлення Ki, г.о.	Витрати на збереження hi г.о.
1	3	3	1
2	2	7	3
3	4	6	2

Функція виробничих витрат для періоду i дорівнює для , де

Етап 1. .

x2	h1x2	C1(z1)+h1x2							Оптимальний розв’язок
		z1=2	3	4	5	6	7	8
		C1(z1)=23	33	53	73	93	113	133	f1(x2)
0	0	23							23	2
1	1		34						34	3
2	2			55					55	4
3	3				76				76	5
4	4					97			97	6
5	5						118		118	7
6	6							139	139	8

Оскільки , мінімальне значення дорівнює .

Етап 2. .

									Оптимальний розв’язок
			1	2	3	4	5	6
		C2(z2)=0	17	27	37	57	77	97	f2(x3)
0	0	0+55=55	17+34=51	27+23=50					50	2
1	3	3+76=79	20+55=75	30+34=64	40+23=63				63	3
2	6	6+97=103	23+76=99	33+55=88	43+34=77	63+23=86			77	3
3	9	9+118=127	26+97=123	36+76=112	46+55=101	66+34=100	86+23=109		100	4
4	12	12+139=151	29+118=147	39+97=136	49+76=125	69+55=124	89+34=123	109+23=132	123	5