9

Тема 3. Основные сведения о сигналах и их математические модели

[4, с.5-46], [5, с.170-184]

Многообразие сигналов в природе огромно. Однако их математических моделей сравнительно немного. Выбор их часто встречает значительные трудности. Цель изучения этой темы – показать применение математических методов после того, как математическая модель сигнала получена. Основа анализа – рассмотрение зависимости между сигналом на входа и его реакцией на выходе.

При изучении материала важно уяснить смысл теоремыШеннонаКотельникова, согласно которой дискретный сигнал практически эквивалентен непрерывному при условии, что частота составляющих спектра непрерывного сигнала меньше, чем 1/2 периода в секунду.

Особое внимание следует уделить представлению сигналов с помощью ортогональных функций.

Вопросы для самопроверки

1.Укажите условия, при которых функция f (t ) равна своему ряду Фурье.

2.Какие ограничения присущи методам преобразования Фурье?

3.Дайте классификацию сигналов и укажите, в чем состоят трудности их математического представления.

4.Дайте формулировку теоремы Шеннона-Котельникова. Какие свойства дискретного сигнала она выражает?

5.Какими преимуществами обладает преобразование Лапласа по сравнению с преобразованием Фурье?

6.В чем состоит сущность быстрого преобразования Фурье?

7.Представьте периодический сигнал тригонометрическим рядом изn членов. Докажите, что такое представление, исходя из условия минимума среднеквадратичной ошибки, содержит первые n членов ряда Фурье?

8.Найдите ряд Фурье бесконечной последовательности единичных мгновенных импульсов с периодом повторения T .

9.Является ли система тригонометрических функций ряда Фурье ортонормированной?

10.Является ли система функций Чебышева ортонормированной?

11.Поясните сущность представления сигнала с помощью функции Уолша.

12.Является ли система функций Уолша ортогональной и нормированной?

Тема 4. Методы теории матриц и их применение

[6, с.38-72]

Матричные методы являются основным математическим аппаратом для исследования сложных автоматических систем. Они составляют значи-

10

тельную часть вычислительных методов и широко используются при автоматизации исследования и проектирования приборов, устройств и систем различного назначения.

Материал темы во многом основан на знании разделов линейнойал гебры, изучаемых студентами ранее на первой и втором курсах высшей математики. В теме излагается дальнейшее развитие и практическое применение матричных методов. При изучении темы следует повторить предшествующие разделы высшей алгебры.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое преобразование подобия? Какими свойствами оно обладает?

2.В каких случаях получается нормальная форма Жордана?

3.Означает ли, что если норма матрицы A <1, то ее спектр лежит внутри единичного круга с центром в начале координат?

4.Сформулируйте теорему Гершгорина. Можно ли оценить величину чисто мнимых частей спектра матрицы?

5.Используя теорему Гершгорина, укажите область распределения спектра матрицы

Какое свойство характерно для спектра этой матрицы?

6.Как расположен спектр матрицы

относительно левой полуплоскости и единичного крута с центром в начале координат?

7.Сформулируйте теорему Кели-Гамильтона и укажите примеры ееис пользования.

8.Дана матрица A

Постройте матрицу B = E - 2(E - A)-1 ( E – единичная матрица) и определите, как расположен ее спектр относительно единичного крута.

9.Запишите решения уравнения x = Ax в матричном виде.

10.Запишите переходную матрицу состоянияe At в виде матричного степенного ряда.

11.Запишите решение уравнения x = Ax + F (t ) в общем виде.