ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра автоматики и телемеханики

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ

Программа, методические указания и контрольные задания

Дисциплина "Математические основы теории систем" Специальность 21.01.00, III курс, з/о

Киров 2005

4

Введение

Цель изучения дисциплины "Математические основы теории систем" – продолжить и углубить математическую подготовку студентов, формируя систему знаний, необходимых в качестве общего фундамента профилирующих дисциплин специальности. Предметом изучения дисциплины являются математические модели систем автоматики и основы методов их исследования. В результате изучения дисциплины студент должен знать:

-математические модели объектов различной физической природы, сигналов и воздействий, непрерывных и дискретных динамических систем, логических и функциональных преобразований;

-математические методы исследования различных моделей; методы анализа систем, описываемые дифференциальными, логическими уравнениями, графами и т.д.;

-основы теории случайных процессов, их характеристики, элементы корреляционной теории, преобразование случайных процессов линейной системой.

По данному курсу студенты заочной формы обучения выполняют одну контрольную работу, курсовую работу и сдают экзамен. При выборе варианта контрольной и курсовой работы следует руководствоваться последней цифрой шифра студента.

Программа дисциплины "Математические основы теории систем"

1.1. Элементы теории множеств

Основные определения, символика, обозначения. Пустое, конечное, бесконечное, точечное линейное множества. Мощность множеств. Взаимнооднозначное соответствие между множествами.

Операции над множествами. Тождества алгебры множеств. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств. Проекции

множеств.

Соответствия, композиция соответствий. Отображения и их свойства. Функция, функционал, оператор.

Пространство. Матричное пространство. Линейное нормированное пространство. Расстояние, норма. Способы определения расстояния и норм. Векторное и функциональное пространство.

1.2. Элементы математической логики и теории автоматов

Аксиомы булевой алгебры. Элементарные булевы функции. Законы и тождества булевых функций. Основные логические операции. Теорема де Моргана.

Составление логических уравнений. Техника преобразования в булевой алгебре. Нормальные формы. Дизъюнктивная и конъюктивная нормальная формы.

5

Формы применения булевой алгебры в автоматике и вычислительной технике.

Понятие о машине с конечным числом состояний. Формальное определение конечного автомата. Автоматы Мили и Мура. Способы задания конечных автоматов.

1.3. Основные сведения о сигналах и их математические модели

Классификация сигналов. Полезный сигнал и помеха. Детерминированные и случайные сигналы. Общие сведения о непрерывных сигналах. Математические модели сигналов.

Виды квантования. Дискретно-непрерывное представление сигнала. Простейший импульсный элемент. Решетчатая функция. Непрерывнодискретное представление сигнала и квантование по уровню. Представление сигнала при квантовании по времени и по уровню.

Временные и частотные области представления и анализа сигналов. Представление сигналов с помощью систем элементарных и ортого-

нальных функций. Ряд Фурье и его тригонометрические формы. Представление сигналов в виде ряда Фурье. Свойства.

Полиномы Чебышева, Лежандра, функции Лагерра, Уолше. Применение для представления сигналов.

Спектральная плотность сигнала. Спектр периодических сигналов. Спектр непериодического сигнала.

1.4. Методы теории матриц и их применение

Специальные виды матриц и их свойства. Преобразование подобия. Диагонализация матрицы. Каноническая форма Жордана.

Норма матрицы. Соотношения между нормами.

Оценка расположения спектра матрицы относительно единичного круга с центром в начале координат. Применение норм и следа матрицы. Вычислительные методы.

Оценка расположения спектра матрицы относительно мнимой оси непосредственно по ее элементам. Методы локализации. Теоремы Гершгорина и Островского.

Теорема Кели-Гамильтона и ее применение. Вычисление обратных матриц, целых отрицательных и положительных степеней матрицы.

Функции от матриц. Матричные степенные ряды. Сходимость их. Теорема Сильвестра.

Полная проблема собственных значений и методы ее решения. Методы построения характеристического полинома.

Запись системы дифференциальных уравнений в матричном . виде Структура решения. Матричный экспоненциал и способы его вычисления.

Матричное исчисление – основной математический аппарат для исследования многосвязных систем (систем с несколькими входами и выходами).

Вычислительные методы линейной алгебры. Применение современных

6

ЦВМ Особенности и специфика решения задач большой размерности с -по мощью цифровых вычислительных машин.

1.5. Элементы теории графов

Виды графов. Направленные графы. Правила построения и преобразования графов. Представление системы алгебраических уравнений в виде графов. Представление структурных схем в виде графов.

Ненаправленные графы. Их преобразование. Способы негеометрического задания графов. Связанные графы. Маршруты, цепи, циклы.

Сети. Анализ сетей. Критический путь. Общие сведения о сетевых методах планирования и управления.

1.6. Математические модели автоматических систем

Математические модели процессов, протекающих в элементах и системах. Обыкновенные дифференциальные и разностные уравненияосновной математический аппарат исследования непрерывных и дискретных систем.

Различные формы записи уравнений. Уравнение системы с одним входом и одним выходом. Структура решения. Получение решения с помощью различных методов.

Передаточная функция - одна из форм математического описания системы. Анализ системы "вход - выход" с помощью аппарата передаточных функций. Использование методов теории графов для получения передаточных функций.

Представление системы в нормальной форме Коши. Переменные состояния. Уравнения переменных состояний. Структура решения.

Понятие об устойчивости. Постановка задачи. Теорема А. М. Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Критерии устойчивости.

Машинные методы анализа устойчивости непосредственно по уравнениям состояния. Применение матричных норм и следов.

Построение процессов по уравнениям состояния.

Машинная постановка матричных способов оценки устойчивости и построения процессов.

Управляемость и наблюдаемость. Основные понятия.

Вычислительные методы исследования автоматических систем. Особенности машинной реализации методов в теории графов, аппарата передаточных функций и метода переменных состояния. Специфика машинных расчетов применительно к системам САПР САУ и САПР АСУ.

1.7. Основы теории случайных процессов Случайные процессы, определения, характеристики. Математические

модели случайных процессов.

Стационарные эргодические случайные процессы и их характеристики. Марковские процессы, пуассоновский и броуновский процессы. Линейные преобразования случайных процессов. Случайные процессы

с дробно-рациональными спектральными плоскостями.