Высшая математика экзамен

50. Непрерывность двух переменных. Перечисление свойств непрерывных функций. Непрерывность функции нескольких переменных. По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х₀, у₀), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х₀, у₀) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней: Условие непрерывности f в точке (х₀, у₀) можно записать в эквивалентной форме: (1') т.е. функция f непрерывна в точке (х₀, у₀), если непрерывна функция f (х₀ + Дх, у₀ + Ду) от переменных Дх, Ду при Дх = Ду = 0. Можно ввести приращение Ди функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Дх, Ду аргументов Ди = f (х + Дх, у + Ду) - f (x, y) и на этом языке определить непрерывность f в (x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если (1'') Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х₀, у₀) функций f и ц есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного ц (х₀, у₀) ? 0. Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x, y. Она непрерывна по этим переменным, потому что | f (x, y) - f (х₀, у₀) | = |с - с | = 0 0. Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так: | f (х + Дх, у + Ду) - f (x, y) | = | f (х + Дх) - х | = | Дх | ? 0. Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y - непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) R₂. Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x, y), очевидно, непрерывная всюду на R₂, за исключением точек (x, y), где Q (x, y) = 0. Функция Р (x, y) = х³ - у² + х²у – 4 может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция Р (x, y) = х⁴ - 2х²у² + у⁴ есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени. Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций. Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x₀, y₀, z₀) пространства R₃ (точек (x, y, z)), а функции x = ц (u, v), y = ш (u, v), z = ч (u, v) непрерывны в точке (u₀, v₀) пространства R₂ (точек (u, v)). Пусть, кроме того, x₀ = ц (u₀, v₀), y₀ = ш (u₀, v₀), z₀ = ч (u₀, v₀). Тогда функция F (u, v) = f [ ц (u, v), ш (u, v), ч (u, v) ] непрерывна (по (u, v)) в точке (u₀, v₀). Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х₀, у₀) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х₀, у₀) в некоторой окрестности точки (х₀, у₀).По определению функция f (x) = f (x₁, ..., х_п) непрерывна в точке х⁰ = (х⁰₁, ..., х⁰_п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х⁰, и если предел ее в точке х⁰ равен ее значению в ней: (2) Условие непрерывности f в точке х⁰ можно записать в эквивалентной форме: (2') т.е. функция f (x) непрерывна в точке х⁰, если непрерывна функция f (х⁰ + h) от h в точке h = 0. Можно ввести приращение f в точке х⁰, соответствующее приращению h = (h₁, ..., h_п), Д_h f (х⁰) = f (х⁰ + h) - f (х⁰) и на его языке определить непрерывность f в х⁰: функция f непрерывна в х⁰, если (2'')Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х⁰ функций f (x) и ц (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного ц (х⁰) ? 0. Замечание. Приращение Д_h f (х⁰) называют также полным приращением функции f в точке х⁰. В пространстве R_n точек х = (x₁, ..., х_п) зададим множество точек G. По определению х⁰ = (х⁰₁, ..., х⁰_п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G. Множество G R_n называется открытым, если все его точки внутренние. Говорят, что функции х₁ = ц₁ (t), ..., х_п = ц_п (t) (a ? t ? b) непрерывные на отрезке [a, b], определяют непрерывную кривую в R_n, соединяющую точки х¹ = (х¹₁, ..., х¹_п) и х² = (х²₁, ..., х²_п), где х¹₁ = ц₁ (а), ..., х¹_п = ц_п (а), х²₁ = ц₁ (b), ..., х²_п = ц_п (b). Букву t называют параметром кривой. Множество G называется связным, если любые его две точки х¹, х² можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G. Связное открытое множество называется областью. Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на R_n (во всех точках R_n). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству f (x) > с (или f (x) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество. В самом деле, функция F(x) = f(x) - с непрерывна на R_n, и множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть х⁰ G, тогда существует шар | х - х⁰ | < д, на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х⁰ G - внутренняя для G. Случай с f (x) < с доказывается аналогично. Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:а) функция f (М) определена в точке М₀ и вблизи этой точки;б) существует предел ;Если в точке М₀ нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

51. Полное и частичное приращения функции двух переменных. Частные производные и их геометрический смысл. Полное приращение- приращение, приобретаемое функцией нескольких переменных, когда все аргументы получают (вообще говоря, не нулевые) приращения Δx₁, Δx₂,..., Δx_n. При некоторых условиях (например, если все частные производные непрерывны) П. п. можно представить в виде суммы слагаемого, линейно зависящего от приращений аргументов и называемого полным дифференциалом (См. Полный дифференциал), и слагаемого, бесконечно малого по сравнению с . Частное производной. Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка. Дадим аргументу х приращение (х; х+(х, получим точку р1(х+(х,у), вычислим разность значений функции в точке р:(хz=f(p1)-f(p)=f(x+(x,y)-f(x,y)(частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.((z = Lim f(x+(x,y)-f(x,y). Геометрический смысл производной F′(x0)=tga=kкас. Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику с абсциссой x0.

52. Дифференциал функции двух переменных. Применение дифференциала в приближенных вычислениях и определении абсолютной и относительной ошибок. Если функция   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: . , , . Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство ∆у≈dy, причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х. Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула широко применяется в вычислительной практике. ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х. Формула используется для вычислений приближенных значений функций.

53. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции двух переменных. Эквивалентность формы задания дифференциала первого порядка. Пусть  есть функция двух переменных  и  Частными производными второго порядка функции  называются частные производные от ее частных производных первого порядка, если они существуют.:Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высокого порядка. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема.Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.Частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной). Теорема: Пусть и функции x = x(u, v)Î, y(u, v)Î= x(u₀, v₀), y₀ = y(u₀, v₀). Тогда f(x(u, v), y(u, v))ÎD(u₀, v₀) и , Доказательство: Рассмотрим разностииз которых следует, что f(x(u, v), y(u, v)) - f(x(u₀, v₀), y(u₀, v₀)) = Следовательно, по определению дифференцируемости функция двух переменных: f(x(u, v), y(u, v))ÎD(u₀, v₀) и , .

54. Производные функций, заданных неявно. Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции   , заданной неявно:  . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением   : , .

55. Производная по направлению и градиент. Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (т.е. точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению . Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом: Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора . Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами , , , где  — некоторая скалярная функция координат x, y, z. Если  — функция n переменных , то её градиентом называется n-мерный векторкомпоненты которого равны частным производным по всем её аргументам. Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на . Градиент обозначается или, с использованием оператора набла, .

56. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту поверхность. Линия касания может одновременно являться и линией пересечения поверхности плоскостью. Плоскость α, представленную двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке. Любая кривая поверхности, проходящая через точку А, имеет в этой точке касательную прямую, принадлежащую плоскости α. Не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость. В некоторых точках касательная плоскость не может быть определена или не является единственной. Такие точки называются особыми точками поверхности, например вершина конической поверхности. Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке, уравнение касательной . и нормали Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+Dх, у₀+Dу).Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

57.Частные производные высших порядков. частные производные первого порядка мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства переменных . От каждой из этих функций , в свою очередь, можно найти частные производные: производных от :

производных от : и так далее до ; всего получается производных где . Производная обозначается также или . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции . Если , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной , что и первое, то частная производная второго порядка называется чистой частной производной второго порядка по переменной и более кратко обозначается . Если же , то частная производная второго порядка называется смешанной частной производной второго порядка. Итак, для функции можно отыскать чистых частных производных второго порядка и смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не , а вдвое меньше.

58. Экстремум функций двух переменных. Необходимое условие. Достаточное условие. Основные понятия Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4). Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x₀;y₀) Î D. Точка (х₀;у₀) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х₀;у₀), что для каждой точки (х;у), отличной от (х_о;у_о), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(х_о;у_о). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х₀;у₀), из d-окрестности точки (х_о;у_о) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х₀;у₀). На рисунке 210: N₁ — точка максимума, а N₂ — точка минимума функции z=ƒ(x;у). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х₀;у₀) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х₀; у₀). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного. 46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума Рассмотрим условия существования экстремума функции. Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'_x(х₀;у₀)=0, ƒ'_y(х₀;у₀)=0. Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у₀. Тогда получим функцию ƒ(х;у₀)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х₀) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0. Аналогично можно показать, что ƒ'_y(х₀;у₀) = 0. Геометрически равенства ƒ'_x(х₀;у₀)=0 и ƒ'_y(х₀;у₀)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z₀ (см. формулу (45.2)). Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0;0), но не имеет в этой точке частных производных. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'_x=0, f'_y=0, называется стационарной точкой функции z.