Высшая математика экзамен

39. Производные высших порядков функции одной переменной. Производная второго порядка и ее смысл. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной : если эта производная существует. -я производная называется также производной -го порядка, а её номер называется порядком производной. При первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: или ; при прочих  -- числом в скобках в верхнем индексе: или .Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная задаёт мгновенную скорость изменения значений в момент времени , то вторая производная, то есть производная от , задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений . Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, ).

40. Производная и непрерывность функции. Непрерывность элементарных функций. Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении х к х₀. Производная функции в точке х₀ обозначается символом . Производная функции и сама является функцией - она определяется значением в точке . Эта функция обозначается символом или . Геометрический смысл производной функции в точке - это тангенс угла наклона между осью абсцисс и касательной к графику этой функции, проходящей через точку с абсциссой . Если угол наклона касательной острый, то тангенс положительный, а значит, производная положительна. Если угол наклона касательной тупой, то тангенс отрицательный, а значит, производная отрицательна. Если угол наклона касательной равен нулю, то тангенс равен нулю, а значит, производная равна нулю. Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует. Правила вычисление производныx. Производная суммы двух функций:Производная произведения постоянной и функции:Производная произведения двух функций:Производная частного двух функций:Производная сложной функции:Производная функции вида :. На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a 1.Функция f (x) определена в точке x = a; 2.Предел существует; 3.Выполняется равенство . Непрерывность элементарных функций: 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Δf(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh→0Δf(x)=0; 2) f(x)=x; Δf(x)=x+h-x=h ⇒limh→0h=0; 3)f(x)=xn, n∈N –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций ⇒ по индукции xn=xn-1⋅x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением  тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.; 6) f(x)=sinx Лемма ∀x∈R, |sinx|<=|x|  Рассмотрим еденичную окружность.∠(OB,ox)=∠x; ∠(OB’,ox)=∠x 0<=x<=π/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки ⇒ |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx ⇒ 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -π/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=π/2 Если |x|>π/2 ⇒ |sinx|<=1<π/2<|x| {док} что sinx – непрерывна. |Δf(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh→0sinh/2=0 7)f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Δf(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2|  |h|→0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 Δf=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh→0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax  a>0 a≠1 непрерывна на (0,+∞) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.

41. Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала. Эквивалентность записи дифференциала первого порядка. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy =f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx. Можно также записать: . дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке. dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx. Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала. Однако, если х- независимая переменная, то dx = Dx, но если х зависит от t, то Dх ¹ dx. Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

42. Теорема Ферма и Ролля. Теорема Ферма. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения, если в этой точке существует производная, то она равна нулю: .ДоказательствоПусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего. По условию теоремы эта точка внутренняя, т.е. , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.Пусть мы подходим к слева. Тогда(т.к. - наибольшее значение), (т.к. мы подходим слева), Делая предельный переход получимПусть мы подходим к точке справа. Тогда (т.к. - наибольшее значение), (т.к. мы подходим слева), Делая предельный переход получимСовместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . ч.т.д. Теорема Ролля. Пусть функция а) определена и непрерывна на ;б) ;в) .Тогда существует точка в которой .Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , т.е. существуют конечные и .2. Если , то есть константа, т.е. и поэтому . В качестве точки c можно взять любую точку из .3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка ,по теореме Ферма, в этой точке (их может быть и две) производная равна нулю.

43. Формула Лагранжа. Рассмотри частный случай, когда . Тогда формула Коши приобретает видили, где . Эта формула и называется формулой Лагранжа. В дальнейшем мы будем на нее часто ссылаться.Заметим, что точка c не обязательно единственная: может быть несколько точек c, удовлетворяющих формулам Коши или Лагранжа.Рассмотрим еще вопрос о геометрическом смысле формулы Лагранжа. Пусть мы имеем график . Проведем через точки и секущую. Она образует с осью OX угол и . Но есть тангенс угла, который касательная к кривой в точке образует с осью OX. Поэтому формулу Лагранжа можно трактовать так: существует точка , касательная в которой параллельна секущей, соединяющей точки и .

44. Формулы Коши. Доказательство. Прежде всего отметим, что, иначе, по Теореме Ролля, существовала бы точка , где , что противоречит ограничению “в”.Рассмотрим функцию. Она а) определена и непрерывна на , т.к. и функции и непрерывны на ; б) , .

45. Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует. . Доказательство. Применив формулу Коши, получим: . где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0: . Пусть при х®а отношение  стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение  стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:.  Найти предел .; ; - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.; ; - применяем правило Лопиталя еще раз.;;;Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

46. Монотонность функции. Условия экстремума. Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной: Если производная положительна, то функция возрастает , Если производная отрицательна, то функция убывает. Необходимые условия существования локальных экстремумов Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x₀. Тогда: f'(x₀) = 0.Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю. Достаточные условия существования локальных экстремумов: Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии, x₀ является точкой строгого локального максимума. А если то x₀ является точкой строгого локального минимума. Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x₀. Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x₀. Тогда при условии и x₀ является точкой локального максимума. А если и то x₀ является точкой локального минимума.

47.Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба и их определение. График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба. Теперь перейдем к точкам перегиба функции. Так как эти точки разграничивают интервалы выпуклости и вогнутости и, следовательно, не принадлежат ни тем, ни другим, то в точках перегиба вторая производная функции не может быть ни положительной, ни отрицательной. А значит, в этих точках она или равна нулю, или не существует.

48. Асимптоты. Определение вертикальных и наклонных асимптот. Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной. Вертикальные асимптоты 1. Линия задана уравнением y = f(x). Если , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота. 2. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t). Если , , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если , , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же , , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота. Наклонные асимптоты. Линия задана уравнением y = f(x). Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота. При этом Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота вправо, Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота влево, Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t). Если (a - конечное число либо один из символов ) и линия обладает асимптотой y = kx + b, то

49. Функции двух переменных. Область определения, виды задания. Предел функции двух переменных. Переменная называется функцией двух переменных и , если:1) задано множество пар численных значений и ;2) задан закон, по которому каждой паре чисел из этого множества соответствует единственное численное значение.При этом переменные и называются аргументами или независимыми переменными. Обозначения функций двух переменных аналогичны обозначениям функций одной переменной:, , , и т.д. Множество всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции. Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого числа найдется такая – окрестность точки , что для любой точки P из этой окрестности, кроме, может быть, самой точки, имеет место неравенство .