Высшая математика экзамен

17. Уравнение гиперболы и параболы и их исследование. Уравнение гиперболы доказательство: Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r₁ - r₂| = 2a, откуда Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить - каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.Директрисой D_i гиперболы, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда из равенства r = d следует, что поскольку Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px, называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

18. Функция одной переменной, способы задания. Сложная функция. Некоторые элементарные функции. Пусть функция f (x) определена на некотором интервале (a,b). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a,b), если F¢(x) = f (x) для всех xÎ(a,b). Теорема. Если функция F(x) является первообразной функции f (x) на (a,b), то множество всех первообразных для f (x) задается формулой F(x)+ С , где С – некоторое постоянное число. Определение. Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ò f (x)dx . Таким образом, если F(x) - какая-либо первообразная функции f (x) , то ò f (x)dx = F(x)+ С. Знак ò называется знаком неопределенного интеграла, f (x) - подынтегральной функцией, f (x)dx - подынтегральным выражением.Основные правила интегрирования. Везде далее предполагается, что все рассматриваемые интегралысуществуют.I. ò dF(x) = F(x)+ C .II. d ò f (x)dx = f (x)dx .III. òa f (x)dx = aò f (x)dx , где a = const .IV. ò [f (x)+ g(x)]dx = ò f (x)dx + ò g(x)dx .V. Если ò f (x)dx = F(x)+ С и a ¹ 0 , тоò ( + ) = F(ax + b)+ C. Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда формула интегрирования по частям имеет вид: udv uv vdu. С помощью данной формулы вычисление исходного интеграла сводится к вычислению другого интеграла, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным. При применении формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух множителей u и dv . При этом через u обычно обозначают функцию, производная которой проще, чем сама функция u . В частности, через u обозначают многочлен, если под интегралом стоит произведение многочлена на одну из функций aax , eax , sin bx , cos bx. В случае когда под интегралом стоят логарифмическая функция или одна из обратных тригонометрических функций.

20. Бесконечно-малые и бесконечно большие величины. Свойства. Бесконечно малая величина есть такая переменная величина, предел которой есть 0, или, что то же самое, это есть такая переменная величина, которая может быть сделана менее всякой данной величины. Поэтому Б. м. величину называют также иногда произвольно малою величиной. Б. большая величина, или произвольно большая величина, напротив, есть такая, которая может быть сделана более всякой данной величины. Эти два вида переменных величин взаимно соответствуют один другому и должны быть рассматриваемы вместе. Так, в элементарной геометрии разность между длиной окружности круга и периметром вписанного или описанного многоугольника с произвольно большим числом сторон есть величина произвольно малая. Б. малые и Б. большие величины делят на различные порядки. Выбирая из данных переменных величин одну какую-нибудь за малую величину первого порядка, называют Б. малыми величинами того же первого порядка всякую Б. малую величину, отношение которой к данной есть величина конечная. Если же отношение это есть Б. малая величина и притом 1-го порядка, то ее называют Б. малой величиной 2-го порядка и т. д. Таким образом, если, напр., α есть бесконечно малая величина, а k какая-нибудь конечная величина, то kα есть также Б. малая величина 1-го порядка, а αⁿ есть Б. малая величина n-го порядка. В то же время 1/α считается Б. большой величиной 1-го порядка, 1/αⁿ — Б. большой величиной n-го порядка и т. д. Порядок малости или великости какой-нибудь переменной величины может быть не только целый, но и дробный, или иррациональный; так, напр., при Б. большом х 1-го порядка величина logx есть Б. большая величина Б. малого порядка. Громадное значение, какое имеют Б. малые величины в анализе, основано на следующих двух положениях: I. При разыскании предела отношения двух выражений, содержащих Б. малые величины различных порядков, можно отбросить все Б. малые величины кроме тех, порядок которых наименьший. II. При разыскании предела суммы выражения, содержащего Б. малые величины различных порядков, можно отбросить все Б. малые величины кроме тех, порядок которых наименьший. На этих положениях основано все дифференциальное и интегральное исчисление. Свойства: Функция называется бесконечно малой величиной при базе , если её предел при данной базе равен 0, то есть , Функция имеет при базе предел, равный , тогда и только тогда, когда величина является бесконечно малой при базе :, Пусть и  -- бесконечно малые при одной и той же базе . Тогда и их сумма  -- тоже бесконечно малая при базе , Пусть  -- бесконечно малые при базе , . Тогда величина также является бесконечно малой при базе .

21.Предел суммы, разности, произведения, частного.  Если две последовательности {x_n} и {y_n} имеют пределы, равные соответственно a и b, то: а) Последовательность {x_n y_n} имеет предел равный a b, т. е.Это свойство распространяется на случай любого фиксированнго числа слагаемых.б) Последовательность {x_n y_n} имеет предел равный ab, т. е.  Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.Постоянный множитель можно выносить за знак предела при любом постоянном k. с) Последовательность имеет предел равный , т. е. при условии, что все y_n не равны нулю и .

23. Первый замечательный предел. . Доказательство. Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1. Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что:(1), , , . Подставляя в (1), получим: . Так как при :. Умножаем на sinx:, Перейдём к пределу: , , Найдём левый односторонний предел:Правый и левый односторонний пределысуществуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. Следствия: , , ,

24. Второй замечательный предел. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где  — это целая часть x. Отсюда следует: , поэтому.Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем: , .По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогд.Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

25. Следствия второго замечательного предела: , , , , для , , .

26. Сравнение бесконечно малых.

Пусть и — бесконечно малые при . 1. Если , то говорят, что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут . 2. Если , где —число, отличное от нуля, то говорят, что и — бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если , то бесконечно малые и называются эквивалентными. Запись ~ означает, что и —эквивалентные бесконечно малые. Если , то это означает, что . Таким образом, является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , т. е. 3. Если и —бесконечно малые одного и того же порядка, причем , то говорят, что бесконечно малая имеет порядок по сравнению с .

27. Непрерывность функции в точке и области задания. Виды точек разрыва. Непреривность функции в точке. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е., Тот же факт можно записать иначе: . Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка). При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

28. Свойства непрерывных функций в области задания. Свойство функций: ункция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M. Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀. Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m,  f(x₂) = M, причем m  f(x)  M. Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx). Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0. Т.е. если sign(f(a))  sign(f(b)), то  х₀: f(x₀) = 0. Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого >0 существует >0 такое, что для любых точек х₁[a,b] и x₂[a,b]таких, чтох₂ – х₁< верно неравенство f(x₂) – f(x₁) < , Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого  существует свое , не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности  зависит от  и х. Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.) Функция  непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число >0 такое, что существуют значения х₁ и х₂ такие, чтоf(x₁) – f(x₂)>,  - любое число при условии, что х₁ и х₂ близки к нулю. Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

29. Производная. Уравнение касательной и нормали. Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — интегрирование. Геометрический смысл производной - разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. Уравнение касательной y = f ’( x₀ ) · x + b. Нормаль – это перпендикуляр к касательной, уравнение нормали y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).

30. Производные суммы, произведения, частного. Производная суммы Производная произведения Производная частного .

31.Сложная и обратная функции. Сложная функция. Пусть функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

(f(f(t)))' = f'(x)f'(t).

Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1): D y =f'(x)D x +a (D x) D x,

где lim_{D x® 0}a (D x ) = 0. Поделив данное выражение на D t № 0, будем иметь: D y/D t=f'(x)D x/D t+ a (D x)D x/D t.

Из дифференцируемости функции x = f (t) в точке t вытекает, что lim_{D t® 0}D x/D t = f'(t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = f(t) следует, что D x® 0 при D t® 0. Следовательно, lim_{D t® 0}a (D x) =0.

Обратная функция. Пусть функция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)№ 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^-1(y) и для ее производной справедлива формула (f^-1(y))' = 1/f'(x).

Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f^-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).

Пусть D y№ 0 приращение для y, а D x - соответствующее приращение обратной функции x = f^-1(y). Тогда справедливо равенство D x/D y = 1/(D y/D x).

Переходя к пределу в последнем равенстве при D y® 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции D x® 0, получим lim_{D y® 0}D x/D y = 1/ (lim_{D x® 0}D y/D x). То есть, x'(y) = 1/y'(x).

32. Производные синуса и косинуса находятся по формулам: sin a = cos a и cos a = -sin a.

33. (х^m)' = m х^m-1, (ln u)' = u'/u.

34. (a^u)' = a^u lna× u'. (e^u)' = e^u u'. (ln u)' = u'/u(модуль тоже самое)

35. (tg u)' = 1/ cos²u× u'. (ctg u)' = - u' / sin²u.

36. (arcsin u)' = u' /.(arccos u)' = - u' /.

37. (arctg u)' = u'/(1 + u²).(arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

38. Производная функции, заданной параметрически. Пусть задана зависимость двух переменных и от параметра , изменяющегося в пределах от до : Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость от : . Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде , называется функцией , заданной параметрически. Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то где  -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение . Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: , ; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра . Покажем это на следующем примере.