13

Билет №13

1)Теорема

Если функции у1 y2,…, уп линейно зависимы а интервале (a,b), то их вронскиан тождественно равен нулю на этом интервале.

Доказательство

Проведем доказательство для случая п=3. Пусть функции y1,y2,y3 линейно зависимы на интервале (а,b), т. е. мы имеем равенство

С1y1+C2y2+Сз y3= О (а < х < b) (3.9)

где не все Сi равны нулю. Пусть, например, С30. Разрешим равенство (3.9) относительно Сз

Уз =,

Где .

Продифференцируем это тождество два раза и подставим у3

согласно (3.10) и найденные отсюда производные и в последний столбец определителя Вронского:

Последний определитель равен нулю, так как его третий столбец является линейной комбинацией первых двух столбцов. Точно так же доказательство может быть проведено и для любого п > 3.

2)Теорема

Знакоположительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частных сумм ограничена.

Доказательство:

1.Пусть ряд - (1) сходится

Тогда существует т.е. последовательность частных сумм сходится. В теории пределов доказано, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.

2.Пусть {S_n} – последовательность частных сумм ряда (1) ограничена. Т.к. все члены ряда неотрицательны, т.е. , k=1,2,3,…, то S_n+1=S_n+a_n+1S_n

Это означает, что {S_n} неубывающая.

Вспоминая теорему о том, что всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел, приходим к выводу, что существует конечный и, следовательно, ряд (1) сходится.