13

13. Основная теорема об экстремумах линейной функции задачи линейного программирования.

Теорема: Если ОДР ЗЛП ограниченная и замкнутая, то оптимальное решение существует и совпадает хотя бы с одним из опорных решений системы ограниченных уравнений.

Доказательство:

1. Оптимальное решение существует, так как ОДР замкнутая и ограниченная ( 2 т. Вейер-Штрасса: если функция непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве, то она достигает наименьшего и наибольшего значения). Линейная функция всегда непрерывна.

2. Пусть Х – допустимое решение и F(x)=Fmax. Пусть х₁,х₂…х_s – угловые точки ОДР, по т.з:

Х= , , t₁≥0

F(x)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n

X=(x₁,x₂,x_n)

C=(c₁,c₂,c_n)→f(x)=cx (скалярное произведение векторов)

Fmax=f(x)=cx=C==≤=f(x_k)=f(x_k)

Cx_i=f(x_i) – опорное решение

f(x₁), f(x₂)…f(x_i)

Пусть f(x_k)≥f(x_i), i=

Получим:

=>поскольку любое х fmax≥f(x),значит, fmax≥f(x_k)