14

Билет 14

1)

Теорема

Если функции y₁,y₂,…,y_n – линейно независимые решения уравнения

Y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…+p_n-1(x)y’+p_n(s)y=0, (1)

Все коэффициенты которого непрерывны в интервале (a,b), то вронскиан этих решений w(x) не равен нулю ни в одной точке интервала (a,b)

Доказательство

n=3

Пусть функции y₁,y₂,y₃- линейно независимые решения линейного однородного уравнения 3-го порядка (1). Согласно теореме о существовании и единственности решения для линейного уравнения, эти решения определены и непрерывны вместе со своими производными до 3-го порядка включительно во всем интервале (a,b) непрерывности коэффициентов уравнения.

Требуется доказать, что вронскиан этих решений w(x) ≠ 0 x€(a,b)

Предположим противное. Пусть существует точка x₀€ (a,b),для которой w(x)=0

Обозначим:

y₁(x₀)=(y₁)₀, y₂(x₀)=(y₂)₀, y₃(x₀)=(y₃)₀;

y₁’(x₀)=(y_1’)₀, y₂’(x₀)=(y_2’), y₃’(x₀)=(y₃’)₀;

y₁”(x₀)=(y₁”)₀, y₂”(x₀)=(y₂”)₀, y₃”(x₀)=(y₃”)₀.

По предположению

(y₁)₀ (y₂)₀ (y₃)₀

w(x₀)= (y₁’)₀ (y₂’)₀ (y₃’)₀ =0

(y₁”)₀ (y₂”)₀ (y₃”)₀

Рассмотрим следующую систему трех однородных алгебраических уравнений с тремя неизвестными C₁,C_2,C₃:

(2)

Так как определитель этой системы w(x₀)=0, то система имеет нетривиальные решения.

Пусть α₁, α₂, α₃ – нетривиальное решение системы (2). Составим следующую линейную комбинацию решений y₁,y₂,y₃:

y= α₁y₁+ α₂y₂+ α₃y₃. (3)

Согласно теореме 3 о свойствах решений однородного линейного уравнения, эта комбинация тоже есть решение уравнения (1)

При этом, как следует из равенств (2)

y(x₀)= α₁y₁(x₀)+ α₂y₂(x₀)+ α₃y₃(x₀)= α₁(y₁)₀+ α₂(y₂)₀+ α₃(y₃)₀=0,

y’(x₀)= α₁(y₁’)₀+ α₂(y₂’)₀+ α₃(y₃’)₀=0,

y”(x₀)= α₁(y₁”)₀+ α₂(y₂”)₀+ α₃(y₃”)₀=0.

Таким образом, функция y является решением уравнения (1), которое удовлетворяет нулевой систему начальных условий, т.е. при x=x₀:

y=0, y’=0, y”=0.

Кроме того, уравнение (1) имеет очевидное решение y≡0, удовлетворяющее той же нулевой системе начальных условий.

По теореме существования и единственности на (a,b) не может существовать двух различных решений, удовлетворяющих одной и той же системе начальных условий.

Поэтому функция y должна тождественно равняться нулю, т.е.

y= α₁y₁+ α₂y₂+ α₃y₃≡0, x€(a,b), при этом набор чисел α₁, α₂, α₃ нетривиальный.

Мы построили нетривиальную линейную комбинацию функций y₁,y₂,y₃, равную нулю для любого x€(a,b), что означает линейную зависимость этих функций на (a,b).А это противоречит условию теоремы.

Следовательно, предположение о том, что существует точка x₀€(a,b),для которой w(x₀)=0 неверно.

Для того, чтобы n решений уравнения (1) были линейно независимы в интервале (a,b) необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Действительно, если решения y₁,y₂,…,y_n линейно независимы на интервале (a,b), то w(x)≠0 x€(a,b).

Обратно, если w(x)≠0 x€(a,b), то решения y₁,y₂,…,y_n линейно независимы на интервале (a,b), так как в противном случае w(x) был бы равен нулю на всем интервале (a,b).

2)Признак сравнения сходимости знакоположительных рядов.

Теорема. Пусть даны 2 знакоположительных ряда

а1+а2+…+a+… (А)

b1+b2+…+b+…(B)

и выполняется нер-во аb, n=1,2,… (1).

Тогда: а)если ряд (В) сходится, то сх-ся и ряд (А);

б) если ряд (А) расх., то расх. и ряд (В).

Док-во: Пусть ряд (В) сходится. Тогда по теореме о необходимом и достаточном условии сходимости знакоположительных рядов последовательность его частных сумм S ограничена, т.е. сущ-ет такое число С, что SС, n=1,2,3,…

Обозначим S частную сумму ряда (А) и в силу нер-ва (1) найдем, что

S=a1+a2+…+ а b1+b2+…+b= SC

Таким образом, S - последовательность частных сумм ряда (А) ограничена. По теореме о необходимом и достаточном улови сходимости знакоположительных рядов ряд (А) сх-ся.

Пусть ряд (А) расходится. Предположим, что ряд (В) сх-ся. Но мы доказали, что тогда сх-ся и ряд (А). Пришли к противоречию. Следовательно, если ряд (А) расх-ся, то расх-ся и ряд (B).

Для практического сравнения используются эталонные ряды. Это ряды, о которых мы знаем, сх-ся они или расх-ся.

1.Геометрическая прогресиия 1+ Если , то ряд сх-ся, если q, то ряд расх-ся.

2. Обобщенный гарм. ряд 1+. Если р1, то ряд расх-ся; р1, то ряд сх-ся.