22. Отыскание базиса системы векторов.

Пусть однородная система уравнений:

(1)

(2)

(1)(2)

Тогда 1) Если -базис системы(II), то -базис системы(I)

2) Если разлагается по векторам

, то

Док-во: Пусть -базис системы (II).

(1) Предположим, что сущ. нетрив. набор () являющийся решением однород. ур-я, т.е выполняется рав-во. В левую часть добавим нулевые слагаемые:() –решение однород. сис-мы(1)решение сис-мы(2).

Отбросив в левой части нулевые слагаемые рав-во не нарушится:

Предположим, что()-нетривиальный, тогда сущ. лин. комб. векторовПо условию эти векторы образуют базс-противоречие, т.к. набор чисел нетрив.

()-могут быть только тривиальными-Л.Н

2)по условию -базис (II),

=

Добавим нулевые слагаемые:

()-решение сис-мы(2)решение сис-мы(1)

Отсюда: , значит каждый вектор сис-мы разлаг-ся по векторам, значит-базис си-мы(1)

-система векторов (I)

Добавим к сис-ме векторов(I)

(II) Пусть r-ранг сис-мы (I) и -базис, это значит, что все векторы сис-мы(I) линейно выражается через , но т.клин. выраж-ся через векторы сис-мы(I), то выраж-ся через

1) -лин. независимые 2)вектор сис-мы(II) лин. выраж.через ; из 1) и 2)-базис сис-мы(II), значит ранг(II)=r 3)исключим из сис-мы(I) вектор : получаем систему векторов(III)

Если к (III) добавим , то то ранг сис.(III) не изменится(из док-ного в п.1), но при этом получим cис.(I), ранг которой= r, значит и сис.(III) имеет ранг r

Билет № 15

Пусть ,,…,-система векторов,,,…,-некоторые числа

Вектор =называется линейной комбинацией, а,,…,-коэффициенты

линейно выражается через ,,…,или вектор разлагается по,,…,

Набор чисел ,,…,называется тривиальным, если все эти числа равны нулю. Если,,…,является тривиальным, то лин комбинация векторов называется тривиальной

Если хотя бы одно из чисел ,,…,отлично от нуля, то набор этих чисел называется нертивиальным.

Определение 1: система векторов ,,…,называется л.з., если существует нетривиальные лин комбинации векторов этой системы, равные нулю

Определение 2: система векторов называется л.н., если существует только тривиальная лин комбинация этой системы, равная нулю

Свойства:

Теорема 1: если среди векторов ,,…,есть хотя бы один нулевой вектор, то система л.з.

Доказательство: пусть для определителя ,,…,-любые=

. -нетривиальная лин комбинациясистема векторов л.з.

Теорема 2: система векторов линейно зависима, и это равносильно тому, что хотя один из них является линейной комбинацией остальных векторов

Докажем необходимость: известно, что ,,…,-л.з.

, . Обозначим -, -,…, -

-лин комбинация остальных

Докажем достаточность: известно, -лин комбинация остальных

-1

-нетривиальный набор коэффициентов лин комбинация нетривианьна, равная нулюл.з.

Теорема 3: если среди n-векторов какие-либо векторы л.з., то и все n-векторы – л.з.

Доказательство: дано ,,…,. Пусть,,…,-л.з. (s<n) существует нетривиальная лин комбинация. В левую часть допишем нулевые векторы. Лин комбинация-нетривиальная, т.к. существует неравный нулю коэффициент. Так как лин комбинация-нетривиальна,,…,-л.з.

Теорема 4: если система n-векторов –л.н, то любая часть этой системы-л.н

Доказательство: ,,…,-любая часть,,…,. Предположим противное,,…,-л.з.по теореме 3, все векторы,,…,-л.з, а это противоречит условию

Билет 16. Базис системы векторов. Теорема о единственности разложения каждого вектора системы по базису этой системы.

Базисом системы вектора a₁,a₂..an называется такая часть этой системы векторов a_i1,a_i2..a_ir для которой выполняются 2 условия:

1)a_i1,a_i2..a_ir - л.н.

2)любой вектор данной системы разлагается по векторам a_i1, a_i2..a_ir.

Теорема: Коэффициенты разложения каждого вектора системы по базису этой системы определяется единственным образом.

Док-во: Пусть существует 2 разложения вектора a_j по базису a_i1…a_ir , то есть

A_j = k₁a_i1+k₂a_i2+..k_ra_ir. (1)

Затем записываем это же выражение, только везде над k волнистые линии.(2)

Значит, наборы коэффициентов различны.

Вычтем из (1) (2)

θ= (k1-k1 c волной)a_i1 +(k₂-k₂ c волной)a_i2 +…+(k_r-k_r c волной)a_i2 –линейная комбинация a_i1, a_i2…a_ir.

Только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору, значит все коэффициенты K=0, т.е

k₁₌k₁ c волной

k₂₌k₂ c волной

k_r=k_r с волной

Эти, единственным образом определяемые коэффициенты разложения вектора системы по базису сист. векторов называются координатами вектора в этом базисе.

Билет 17. Примеры базисов линейных пространств. Доказать, что система единичных векторов , , …, пространства служит базисом этого пространства.

R² –базис включает 2 неколлинеарных вектора.

R³- базис включает 2 некомпланарных вектора.

Rⁿ- докажем, что в Rⁿ базис образует система единичных векторов e₁(1,0,0,0) ,e₂(0,1,0,0) …e_n(0,0,0…1).

У каждого вектора e_i этой системы векторов все координаты =0, кроме i-той координаты=1.

k₁e₁+k₂e₂+…+k_ne_n=k₁(1,0..0) +k₂(0,1…0)..+k_n( 0,0,…1)=(k_1,k_2…k_n) –линейная комбинация k₁e₁+k_ne_n= θ, значит (k₁,k_2…k_n)= θ, то есть k₁=0,k₂₌0..k_n=0.

Только тривиальная линейная комбинация системы единичных векторов равна нулевому вектору.

5.Доказать, что определитель n-го порядка равен сумме произведений любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Опр-ль n-ного порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Док-во: возьмем любую i-ую строку опр-ля (2) и докажем справедливость формулы (7):

│ а₁₁ а₁₂…а_1j…a_1n │

det А= │ а₂₁ а₂₂…а_2j…а_2n │ (2) det A= a_i1A_i1 +a_i2A_i2+…+a_inA_in (7)

│ а_i1 а_i2…а_ij…a_in │

│………………… │

│a_n1 а_n2…а_nj…а_nn │

Переместим i-ую строку на 1ое место, не меняя взаимного расположения остальных строк. В рез-те получим опр-ль:

│ а_i1 а_i2…a_in │

Det A” = │а₁₁ а₁₂…a_1n │ (8)

│……………│

│a_n1 а_n2…а_nn │

Чтобы прийти к опр-лю (8) нужно поменять i-ую строку с (i-1)ой строкой, затем с (i-2)ой строкой и т.д… с 1ой строкой. Всего нужно произвести (i-1)у перестановку строк. По св-ву 2⁰ (при перестановке местами любых 2х строк или столбцов опр-ля знак опр-ля меняется на противоположный) это приведет к изменению знака опр-ля (i-1) раз. Т.е.:

detA= (-1)^i-1 detA” (9)

Запишем формулу для вычисления опр-ля (8) по элементам 1ой строки:

detA”= a_i1A₁₁” +a_i2A₁₂”+…+a_inA_1n”= a_ij A_1j (10)

Причем А_1j”= (-1)^1+j М_1j”= (-1)^1+jM_ij

Т.к. элементы 1ой строки опр-ля (8) совпадают с элементами i-ой строки опр-ля (2), то М_1j”=M_ij

Теперь мы получаем detA”= a_ij(-1)^1+jM_ij (11)

Подставим в формулу (9) detA” согласно (11)ой:

detA= (-1)^i-1 a_ij(-1)^1+j M_ij = a_ij(-1)^i+j M_ij= a_ijA_ij

Таким образом, формула (7) доказана и тем самым благодаря св-ву 1⁰(detA=detA^t)

доказана справедливость разложения опр-ля по любому его j-ому столбцу:

detA= a_1jA_1j +a_2jA_2j+…+a_njA_nj=a_ijA_ij (12)

Билет 8

Всякая прямоугольная таблица из чисел наз-ся матрицей. Числа, составл. Матрицу наз-ся её элементами. Элементы первых «n» столбцов имеют 2 индекса:

1.первы показывает номер строки

2. второй-номер столбца

Матрица А , содержащая m – строк и n-столбцов наз-ся матрицей вида mxn ij) m,n

Если m=n , то матрица наз-ся квадратной.

Для квадратной матрицы вводится понятие – главная диагональ. Идет из левого угла вверх и угла в прав. Нижний

Квадрат. Матрица А наз-ся треугольной, если равны 0 все эелементы марицы, располож. Выше или ниже главной диаг.

Квадрат. Матрица у кот все элементы вне главной диаг. =0 на-ся диагональю

A=

Диаг матрица n-го пордяка, у кот все элементы =1 наз-ся единичной матрицей n-го порядка (E)

E = detE=1

Матрица, все элементы кот =0 наз-ся нулевой

Действия.

1.Суммы 2 матриц А и В одинаого размера наз-ся матрица С того же размера mxn элементы кот равны сумме одноиимен. Элементов матриц А и В

C= A+B

2. Произведение матрицы на число.

λ-какое-то число

А (a ij) m,n – матрица

Произв. Матрицы А на λ(действ число) наз-ся матрица С такого же размера как и А

С ij=λ ij

3.Умножение матриц.

Пусть имеется строка из m элементов

А= и столбец из n элементов

Произв. 2ух таких матриц AxB (произв. Строки на столбек) наз-ся число, равное сумме произ-ий соотв. Строки и стобца.

Св-ва.

Ассоциативное (сочет) относительно чисел мн-ва

λ*(MA)=(λM)A

2.Распред. относит суммы матриц

λ (A+B)=λA +λ B

3.Распред. относительно суммы чисел

(λ+M)=λA + AM

Св-ва (умнож)

1.Сочет. А* (BC)= (AB)*C

2.Распред. (относит суммы матриц)

(A+B)*C=AC+BC

3.перемест (коммутатив.) св-во в общем случае не вып. (вып. Перестан св-ва)

Порядок сомножителей существенен если взять множители в др. порядке,то произв. Может быть непордел.

Amn * B nq

Bnq*Amn – неорпед.

А= B=

AB = BA =

AB ≠BA

27) Пусть дано правило,по кот каждому век х их Rⁿ,ставится в соотв вполнеопр век у и того же Rⁿ.

Говорят,задано преобразование простр Rⁿ.у=α(х)-образ век х.

Преобраз α(х)наз линейным,если вып усл: 1)α(сх)=сα(х) с-любое из Rⁿ

2)α(х+у)=α(х)+α(у) х и у€Rⁿ

Свойства: 1)лин преобр век простр приводит любые лин комб век х₁, х_2,… х_n

в лин комб с теми же коэф образов этих векторов,т е преобраз α(с₁х₁ +…+с_nx_n)=c₁α(х₁)+…+с_n α(х_n)

2)при любом преобр лин простр образомθ явлθ, а образом α(θ)=θ

Противополож век явл век противополож образу α(-х)= - α(х)

14. Векторная форма записи системы линейных уравнений.

Пусть дана система m лин. ур-ий с n неизв.

(1)

Введем m-мерные векторы коэф-тов:

Каждая коорд. вектора- коэф-т при неизв.вi-ом ур-е сис-мы (1).

Введем вектор , каждая коорд. которого есть свободн. член соотв. ур-я.

Теперь сис-му (1) можно записать в виде векторн. ур-я: (2)

Утверждение: - реш-е ур-я (2) тогда и только тогда, когда- реш-е (1)

Док-во:

1) Пусть - реш-е ур-я (2). Подставимв лев. часть ур-я (2):

(3)

Вектор (3)=вектору (из (2)). Из равенства 2-х этих векторов следует равенство для всехn координат этих векторов:

(4)

Равенства (4) означают, что явл. реш-ем сис-мы (1).

2) Пусть вектор явл. реш-ем сис-мы (1), т.е. выполняется равенства (4), котор. равносильны рав-ву 2-хn-мерных векторов: вектора, записанного под (3) и . Т.е. получаем, откуда след., чтоявл. реш-ем векторн. ур-я (2), которое будем называть системой лин. ур-й.

Билет №4 . Доказать ,что определитель n-го порядка равен сумме произведений любой его строки (столбца ) на их алгебраические дополнения.

Если D = |A| - определитель порядка n, то минором M_ij элемента а_ij называют определитель порядка n-1, получающийся из D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Под алгебраическим дополнением A_ij элемента а_ij понимают минор M_ij, домноженный на (-1)^i+j, т.е. A_ij = (-1)^i+jM_ij Например для определителя 3-го порядка:

D=

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a32

Минор элемента а23 будет M23 =

a11 a12 a31 a32

Алгебраическим дополнением элемента а₂₃ будет A₂₃= (-1)²⁺³M₂₃= (-1)⁵M₂₃= -M₂₃ а для элемента а₁₃ , A₁₃= M₁₃ и т.п.

Теорема разложения:

Если D = |A| - определитель n-го порядка, то

D =

n Σ i=1

aikAik

=

n Σ i=1

akiAki

n Σ i=1

aikAim

=

n Σ i=1

akiAmi = 0,  для k неравного m

т.е. сумма произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения равна значению определителя. Сумма произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или другого столбца) равна нулю.

24.Теорема Кронекера – Капелли (доказать)

Теорема: Система совместна тогда и только тогда , когдат ранг векторов коэф-ов равен рангу расшир. Сист векторов

r=r1

Док-во(необходимое)

Пусть дана система:

x1+x2+…+ xn = (1)

Пусть она совместна(ранги совпадают, сущ. Реш-е) допустим:

=( ) – реш-е сист (1)

Пусть k1a1+k2a2+…+ knan= лин. Выражается через векторы-коэф. Сист (1), ранг ()=r

добавим вектор b: (,,…,), получим расшир систему

ранг (,…,)=r по Т. так как в лин. Выраж через (,…)

Док-во (достаточное)

Пусть r=r () ,базис сист векторов-коэф. А значит и базис сист. Векторов

=k1 +k2 +…+ kr ↔↔(k1,k2…kr,0,…,0) – реш-е сист (1) ⇒ сист (1) совместна.

21-Теорема: Каждый базис данной системы векторов включает одно и то же кол-во векторов.

Док-во: Пусть дана сис-ма векторов ;- базис (I), - базис (II). Доказать: s=m.

Т.к. (II) – базис, по опр. каждый вектор сис-мы (I) разлагается по базису (II). С другой стороны, векторы сис-мы (I) лин. незав. Тогда по следствию из т. Штейнца .

Векторы сис-мы (II) лин. незав. и каждый вектор сис-мы (II) разлагается по векторам (I), => по следствию . =>,- такое возможно, только еслиs=m, ч.т.д.

№28. Всякое л.п пространства Rn определяется заданием образов всех векторов базиса этого пространства.

Док-во:

Пусть вектор _{=(x1,x2,…,xn) – произвольный вектор Rn}

_=x1+x2+…+xn _{(1) образ этого век-ра} α ()_{в силу св-ва 1 л.п:}

α ()=α (_x1+x2+…+xn)= _x1α ()+…+xnα () (2)

Пусть век-ры α (ei) – даны (известно их разложение по базису (, , …, ))

Система (3):

α ()=a11+a21_+…+an1,

α ()=a12+a22_+…+an2,

_…

α ()=a1n+a2n_+…+ann,

_{Составим кв матрицу А порядка n (4):}

_{a11 a12 … a1n}

_{A = a21 a22 … a2n}

_…

_{an1 an2 … ann}

_{В этой матрице в каждом i-ом столбце (1≤i≤n) записаны корд-ты вектора} α (ei). Эта матрица А, столбцы которой составлены из корд-т образов векторов базиса α(), α(),_…,α () в том же базисе, , …, наз-ся матрицей данного л.п.

Теперь можем выразить л.п в координатах, т.е для любого изRn выразить координаты вектора α ()=(вектор) y=(у1,у2,…,уn) *

(3) в матричной форме: (5)

(α(), α(),_…,α ())=( ,, …, )А =

_{a11 a12 … a1n}

_{=a21 a22 … a2n *} ( ,, …, )

_…

_{an1 an2 … ann}

_{(1)можно записать в матричной форме: (6)}

*: α ()=(вектор) y=(у1,у2,…,уn)= _x1α ()+…+xnα () = (α(), α(),_…,α ())*

* (матрица-столбец, не строка) (х1,х2,…,xn)= ( ,, …, )*A*(матрица-столбец) (х1,х2,…,xn)

_{Вектор у=у1+у2+…+уn=}( ,, …, )*(матрица-столбец) (y1,y2,…,yn) (7)

Сравнивая (6) и (7), имеем:

(y1,y2,…,yn) = A*(матрица-столбец) (х1,х2,…,xn) (8)

Вектор у=А(9) – матричная форма записи л.п: (10) (фигурная скобка системы)

y1=а11х1+а12х2+…+a1nxn,

y1=а21х1+а22х2+…+a2nxn,

…

y1=аn1х1+аn2х2+…+annxn.

(10)-координатное представление данного л.п.

Эти формулы позволяют любой изRn определить ого образ (вектор) у=(y1,y2,…,yn) из Rn.

Коф-ты этих формул известны, если даны формулы (3). Тем саамы доказано, что (3) действительно определяет лп (вектор) у= α (), переводящее базисные векторы ,, …, в векторы α(), α(),_…,α ().

Единственность преобразования α доказывается тем, что коэф-ты разложения век-ов α(), α(),_…,α () по базису ,, …, опред-ся однозначно.

Таким образом, если знаем образы базисных век-ов при некотором л.п, то знаем образы всех векторов при этом преобразовании.

6- Св-во определителей:

Если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на любое число, то определитель не изменится.

Доказательство:

Прибавим к элементам i-ой строки определителя ⁿ_i=1∑a_ijA_ij элементы k-той строки, умноженные на число и разложим преобразованный определитель по элементамi-той строки. Получим ⁿ_i=1∑ (a_{ij +} ak_j) A_ij = ⁿ_i=1∑ a_ijA_ij + ⁿ_i=1∑ ak_j A_ij

По свойству 5 (сумма произведений эл-тов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения эл-тов любой другой строки (столбца) равна 0) вторая сумма равна 0.

Замечания: Описанное св-во позволяет в любой строке или столбце определителя заменить нулями все элементы кроме одного. Тогда согласно формуле det A= a_i1A_i1 +a_i2A_i2+…+a_inA_in вычисление данного определителя порядка n сведется к вычислению одного определителя порядка (n-1). Это метод вычисления определителя понижения порядка.

Вопрос4. Определитель n-го порядка .Определение ,свойство, устанавливающее равноправность строк и столбцов определителя ,свойство о перестановке местами любых двух строк (столбцов ) определителя (доказать) .

Определителем n-го порядка называется число равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение .

Свойство 1. («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами:

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

2. Определитель меняет знак при любой транспозиции его столбцов (строк).

Докажем это свойство для строк.

Пусть в определителе

переставили местами i-ю и k-ю строки:

Мы видим, что в начальной перестановке строк

(1, …, i-1, i, i+1, …, k-1, k, k+1, …, n)

произошла транспозиция (i k):

(1, …, i-1, k, i+1, …, k-1, i, k+1, …, n).

Первоначальная перестановка является четной, а после транспозиции (i k) перестановка получается нечетной.

Следовательно, при любой транспозиции столбцов определителя знак меняется на противоположный.

.

Таким образом, при такой перестановке строк каждый член определителя меняет свой знак на противоположный, откуда и следует первое утверждение теоремы.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевой столбец (нулевую строку) равен нулю.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается m_ij

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j — четное число, и сознаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается

 A_ij:  A_ij=(-1)^i+j_*m_ij.

Так A₁₁=+m₁₁,A₃₂=-m₃₂.

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Так, например, a₁₁A₂₁+a₁₂A₂₂+a₁₃A₂₃=0.

 

Билет 11. Отыскание обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы (A/E)

Пусть A — обратимая квадратная матрица. Обозначим —j-й столбец обратной матрицы. Тогда, поскольку

A•A^-1=E, то, очевидно, справедливо:

т.е. — матрица стобец с единицей в j-й строке.

Решим эти n систем методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку в их левой части одна и та же матрица. Для этого запишем матрицу, содержащую в первых n столбцах матрицу системы, а в последних n столбцах — единичную матрицу, и выполним Гауссово исключение так, чтобы получилось:

Очевидно, что матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная матрица.