9-10

9.Замена переменной в опред.инт.

Пусть требуется вычислить инт. d(x), где f(x) непрер.на отр. [a;b]. введем х=φ(t): 1) φ(t) опред. и непрер. на отр. [α;β]; 2)отрезок [a;b] явл.множеством значений ф-и х= φ(t), tє[α;β], 3) φ(α)=a, φ(β)=b, 4) сущ.и непрер. φ'(t) на [α;β]. Тогда : d(x)= (1)

Док-во. Вычисл.лев.и прав.интегралы в ф.(1). Пусть Φ(х)-первообраз. для f(x) на [a;b]. d(x)=Φ(b)-Φ(a). рассмотрим ф-ю Φ[φ(t)], tє[α;β]. Это сложн.ф-я дифференцируема на [α;β], тк Φ(х) и φ(t) дифференцируемы на соответств. отр. [a;b] и [α;β]. По правилу отыск. производ. сл.ф-и Φ[, тк , то при х=φ(t) получим Φ'[φ(t)]=f[φ(t)] и Φ[=f[φ(t)]*. Значит, Φ[φ(t)] явл.первообраз. для ф-и f [φ(t)]* на [α;β] и

10.Вычисление площадей фигур в прямоуг. и поляр. координатах

1.если непрерывная и неотриц. на отр. [a;b], то площадь криволин.трапеции аАbB вычисл. по формуле S=d(x)

2.если знак меняет на [a;b], то отрезок след.разделить на части, в каждой их кот. сохраняет знак. Площади фигур,нах. над осью Ох берут со знаком +, под Ох со знаком -.

Q₁=dx , Q₂=, Q₃=. Тогда S=Q₁+Q₂+Q₃=dx/

3. криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху непрерыв.прямыми, ур.кот. y=f(x) y₂=g(x) xє[a;b] f(x)≥g(x)≥0 S=d(x) - d(x)=

4. если g(x) меняет знак на [a;b], то площадь фигуры вычисляется также по ф.3

5. площадь фигуры в поляр.координатах.

Введем полярную систему координат, выберем точку 0 (полюс), и выходящий из нее луч ОР (полярная ось). ρ- длина вектора ОМ, φ- угол, между полярной осью и ОМ. Пусть в п.системе координат задана кривая АВ уравнением ρ=ρ(φ), ρ(φ) – непрерывная на [α;β]. Определим площадь сектора, огран.кривой ρ=ρ(φ), и радиус-векторами φ=α иφ=β. Выполним разбиение отрезка [α;β] φ₀=α,φ₁φ₂,…,φn=β. Проведем соответств. Углам φ₁φ₂,…,φn-1 радиус-векторы. Они разбили сектор ОАВ на ряд секторов:1,2,3,4,…,I,….n. обозначим Δφ₁, Δφ₂,….,Δφn – углы,соответств. каждому сектору. λ=maxΔφi. В каждом i-м секторе возьмем произвольно радиус-вектор ρ₁. Площадь i-ого сектора Si приближенно равна площади кругового сектора с центр.углом Δφi и радиусом ρi. Si=1\2**Δφ₁. Рассмотрим сумму =. Эта сумма – площадь «ступенчатого» сектора, составл.из круговых секторов. Площадь ступенчатого сектора = – площади криволинейного сектора ОАВ. Точное значение n=*. Тк является интегральной суммой для ф-и на [α;β].