Лекции по линейной алгебре / 5_метод Гаусса

Лекция 5. Метод Гаусса

План:

1.Метод Гаусса;

2.Теорема Кронекера-Капелли;

3.Примеры решения систем.

переменных с помощью элементарных преобразований. С помощью таких преобразований система уравнений (5.1) приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида (прямой ход метода Гаусса). Из полученной системы, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные (обратный ход метода).

прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…,

где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2. Предположим, что a22(1) 0 (всегда можно путем перестановок уравнений системы получить данный факт). Умножая второе уравнение на

........................................

0 bm(r 1) .

соответствующее равенство противоречиво, и система (5.1) несовместна.

На практике преобразования Гаусса как правило проводят не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов (берут расширенную матрицу).

2x1 x2 6,

Пример1. Решить систему x1 2x2 x3 5, методом Гаусса.

3x1 4x2 2x3 13

Решение. Преобразования будем выполнять с расширенной матрицей системы

ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса).

1) Для удобства преобразований поменяем первую и вторую строчки (это элементарное преобразование приводит к эквивалентной матрице):

2) Элемент, стоящий в первой строке и в первом столбце, будет ведущим. Элементы, находящиеся в первом столбце ниже ведущего необходимо обнулить. Для этого к элементам второй строки прибавляем удвоенные соответствующие элементы первой строки. Из элементов третьей

строки вычитаем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 3. Получаем эквивалентную матрицу:

1 2 1 5

0 3 2 4 ;

0 10 1 2

3) Для упрощения преобразований умножим все элементы третьей строки на число 3:

1 2 1 5

0 3 2 4 ;

0 30 3 6

4) Для получения следующей "ступеньки" ведущим элементом выбираем элемент "-3", который находится во второй строке и во втором столбце. Поэтому необходимо обнулить элемент, находящийся под ним, для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 10:

5) Элементы третьей строки разделим на "-17":

1 2 1 5

0 3 2 4 .

0 0 1 2

Без комментариев процедура решения записывается в виде:

По полученной ступенчатой матрице записываем соответствующую систему:

Выполняем обратный ход:

5.2. Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Пусть A основная матрица системы, A1 - расширенная матрица системы (5.1).

Результаты исследования решения системы (5.1) можно представить в виде схемы:

Система m линейных уравнений с

n неизвестными

r n r n

Вслучае неопределенной системы r переменных x1, x2 , ..., xr

называются основными (базисными) переменными, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные n r переменные называются неосновными (свободными).

Решение системы (5.1), в котором все n r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

5.3. Примеры решения систем

Ранг расширенной матрицы равен 4 (количество ненулевых строк в матрице ступенчатого вида). Ранг основной матрицы равен 3 (убираем последний столбец свободных членов и вычеркиваем последнюю нулевую строку).

Значит, по теореме Кронекера-Капелли система несовместна, т. е. не имеет решений.

Последняя строка полученной матрицы дает противоречивое уравнение 0 x1 0 x2 0 x3 0 x4 11 .

Ответ: система не имеет решения.

б) Решить систему: 4x1 2x2 5x3 x4 7x5 2, 2x1 x2 x3 8x4 2x5 7.

Решение. Прямой ход метода Гаусса. Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

базисных можно взять переменные: x1, x3 . Свободные переменные: x2 , x4 , x5 . Обратный ход метода Гаусса: