Лекции по линейной алгебре / 6_СЛУ в экономич_анализе
.pdf
Лекция 6. Системы линейных уравнений в экономическом анализе
План:
1.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики;
2.Пример решения задачи.
6.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Пусть даны n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (не материального производства) личного и общественного
потребления. |
|
|
Рассмотрим процесс производства за год. |
|
|
Обозначим: |
|
|
xi |
- общий (валовой) объем продукции i -й отрасли ( i |
1, 2, ..., n ); |
xij |
- объем продукции i -й отрасли, потребляемой j |
-й отраслью в процессе |
производства ( i, j 1, 2, ..., n );
yi - объем конечного продукта i -й отрасли для непроизводственного потребления.
Валовой объем продукции любой i -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта:
|
|
n |
|
|
|
xi |
|
|
xij yi , (i 1, 2, ..., n) . |
(6.1) |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
Уравнения (6.1) называются соотношениями баланса. |
|
||||
Пусть все величины уравнений (6.1) имеют стоимостное выражение. Введем |
|||||
коэффициенты прямых затрат: |
|
||||
a |
|
xij |
, (i, j |
1, 2, ..., n) . |
(6.2) |
|
|
||||
ij |
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициенты прямых затрат показывают затраты i -й отрасли на |
|||||
производство единицы продукции j -й отрасли. |
|
||||
Если предположить, что за некоторый промежуток времени коэффициенты |
|||||
aij |
будут постоянными, т.е. материальные затраты линейно |
зависят от |
|||
валового выпуска: |
|
||||
xij |
aij xj , (i, j |
1, 2, ..., n) . |
(6.3) |
||
Поэтому построенная модель межотраслевого баланса называется линейной. |
|||||
Соотношения баланса (6.1) можно записать: |
|
||||
|
|
n |
|
|
|
xi |
|
aij x j |
yi , (i 1, 2, ..., n) . |
(6.4) |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
x1 |
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
y1 |
|
Обозначим X |
x2 |
, A |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
, Y |
y2 |
, |
|
... |
|
... ... ... ... |
|
... |
|
|||
|
xn |
|
an1 |
an 2 |
... |
ann |
|
yn |
|
где X - вектор валового выпуска, Y - вектор конечного продукта, А - матрица прямых затрат.
Используя введенные обозначения систему (6.1) можно записать в
матричном виде: |
|
X AX Y . |
(6.5) |
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y .
Перепишем уравнение (6.5) в виде:
EX |
AX |
Y |
EX |
AX Y |
E A X Y . |
(6.6) |
|
Если матрица |
E |
A |
невырожденная, то |
|
|||
X |
E |
A 1 Y . |
|
|
|
(6.7) |
|
Матрица S |
E |
A 1 |
называется матрицей полных затрат. |
|
|||
Каждый элемент |
sij |
матрицы S есть величина валового выпуска продукции i |
|||||
-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта
j -й отрасли ( j 1, 2, ..., n ). |
|
В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x i |
должны быть |
неотрицательны при неотрицательных значениях yi 0, aij 0 , где i, j |
1, 2, ..., n . |
Матрица A с неотрицательными элементами называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора Y существует неотрицательное решение X уравнения (6.6).
Рассмотрим один из критериев определения продуктивности матрицы A : максимум сумм элементов столбцов матрицы не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е.
|
|
|
n |
матрица A продуктивна, если |
aij |
0 для любых i, j 1, 2, ..., n и max |
aij 1 , и |
|
|
j 1, 2, ..., n |
i 1 |
|
n |
|
|
существует номер j такой, что |
aij |
1. |
|
i1
6.2.Пример решения задачи
В таблице приведены данные об использовании баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:
Отрасль |
Потребление |
|
Конечный |
Валовой |
|||
|
|
|
Энергетика |
|
Легкая |
продукт |
выпуск |
|
|
|
|
|
промышленность |
|
|
- |
ство |
Энерге- |
7 |
|
21 |
72 |
100 |
Производ |
тика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легкая |
12 |
|
15 |
123 |
150 |
|
|
пром-ть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится в три раза, а легкой промышленности останется на прежнем уровне.
Решение.
По данным задачи: x1 |
100, x2 |
150, x11 |
|
7, x12 |
21, x21 12, x22 |
15, y1 |
72, y2 |
123. |
||||||||||||
По |
|
|
формуле |
|
(6.2) |
|
находим |
|
коэффициенты |
прямых |
||||||||||
затрат: a11 |
0, 07, a12 |
0,14, a21 |
0,12, a22 |
0,10 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
0, 07 |
|
0,14 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,12 |
|
0,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица A удовлетворяет критерию продуктивности. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Поэтому |
|
для |
любого |
вектора |
конечного |
продукта |
Y |
можно |
найти |
|||||||||||
необходимый объем валового выпуска X по формуле (6.7). |
|
|
|
|||||||||||||||||
Найдем матрицу полных затрат S |
E |
|
A 1 : |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
A |
0, 93 |
0,14 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,12 |
0, 90 |
|
|
|
|
||||
Так как матрица S невырожденная ( |
|
S |
|
0,8202 |
0). |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
S |
E |
A |
|
1 |
|
1 |
0, 90 |
0,14 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0,8202 |
0,12 |
0, 93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По условию задачи Y |
216 . Тогда вектор валового выпуска: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0, 90 |
0,14 |
216 |
258, 01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X |
|
0,12 |
0, 93 |
123 |
171, 07 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,8202 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 258, 01 усл.ед., а в легкой промышленности до 171,07 усл. ед.