Лекции по линейной алгебре / 1_Матрицы
.pdf
Лекция 1. Матрицы и операции над матрицами
План:
1)Основные понятия;
2)Операции над матрицами.
1.1. Основные понятия
Определение. Матрицей m n называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов. Сами числа называются элементами матрицы.
Для обозначения матриц используют прописные буквы латинского
алфавита: A, B, C,... . |
Для обозначения элементов используют строчные |
||||||||||
буквы с индексами: aij , где i - номер строки, j |
- номер столбца. |
|
|||||||||
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1 j |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2 j |
... |
a2n |
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|||||
Am n |
ai1 |
ai 2 |
... |
aij |
... |
(aij )m n , i |
1, 2,..., m; j 1, 2,..., n. |
|
|||
|
ain |
|
|
|
|
|
|||||
|
... ... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|||||
|
am1 |
am2 |
... |
amj |
... |
amn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
Пример матрицы размерности 3 |
2 : |
A3 2 |
0 |
1 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
Определение. |
Две |
матрицы |
Am n |
и |
Bm n |
одного размера |
называют |
||||
равными, если соответствующие элементы равны, т.е. aij b ij |
для любых |
||||||||||
i 1, 2,..., m; |
j 1, 2,..., n. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Виды матриц
1. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой:
A1 n a11 a12...a1n .
2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-
|
b11 |
столбцом: B |
b21 . |
m 1 |
... |
|
|
|
bm1 |
3.Матрица называется квадратной n -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n .
Например, квадратная матрица второго порядка: A2 2 |
1 |
6 . |
|
0 |
4 |
Определение. Элементы aij , у которых номер столбца равен номеру строки i j , называют диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
4. Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной матрицей.
2 0 0
Например, A3 3 0 1 0 .
0 0 3
5.Если у диагональной матрицы n -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n -го порядка.
Единичная матрица обозначается буквой E .
1 0 0
Например, E 0 1 0 .
0 0 1
6. Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:
|
0 |
0 ... |
0 |
0m n |
0 |
0 ... |
0 . |
|
... ... ... ... |
||
|
0 |
0 ... |
0 |
7.Квадратная матрица называется треугольной (верхней треугольной),
если все элементы, находящиеся под элементами на главной
диагонали, равны нулю.
2 5 3
Например, A 0 2 6 .
0 0 1
8.Для матрицы произвольной размерности аналогично дается понятие ступенчатой матрицы.
3 9 3 2
Например, A 0 4 7 5 .
0 0 5 8
1.2. Операции над матрицами
1.Умножение матрицы на число.
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент
матрицы умножить |
на |
|
это число, |
т.е. Bm n Am n , если bij aij для |
|
i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n. |
|
|
|
|
|
Например, если A |
2 |
0 |
, то 5A |
10 |
0 . |
|
3 |
4 |
15 |
20 |
|
2. |
Сложение матриц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Чтобы сложить две матрицы одинаковой размерности, необходимо |
|||||||||||
сложить соответствующие элементы этих матриц. |
|
|
|
|
||||||||
|
Cm n Am n |
Bm n , если cij |
aij |
bij для i |
1, 2,..., m; |
j |
1, 2,..., n. |
|||||
|
Например, |
A |
1 |
0 |
2 , B |
6 |
1 |
2 , то C |
|
5 |
1 |
0 . |
|
|
|
3 |
4 |
1 |
5 |
8 |
0 |
|
8 |
4 |
1 |
3. |
Вычитание матриц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Разность двух матриц одинакового размера определяется через |
|||||||||||
сложение матриц и умножение на число: |
A B A |
( |
1)B . |
|
|
|||||||
4.Умножение матриц.
Умножение матрицы A на матрицу B определено, если число
столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы:
Cm n Am k Bk n . Число строк результирующей матрицы равно числу строк
первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
Каждый элемент cij ai1b1 j |
ai2b2 j ... |
aikbkj |
для i 1, 2,..., m; j |
1, 2,..., n. |
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
Например, |
A2 3 |
, |
B3 2 |
1 |
2 . |
|
|
|||||
2 |
0 |
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Тогда |
C2 2 |
1 3 |
( |
2) 1 |
0 ( |
1) |
1 0 |
( |
2) ( 2) 0 2 |
1 |
4 . |
|
|
|
2 3 0 1 ( 3) ( 1) 2 0 0 ( 2) ( 3) 2 |
9 |
6 |
||||||||
Замечания: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
Если |
AB существует, |
то |
BA может и не существовать. Даже |
||||||||
если и существуют оба произведения, то могут получиться матрицы разных размеров, т.е. коммутативный (переместительный) закон не выполняется
AB BA . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
Коммутативным законом обладает произведение квадратной |
||||||||||
матрицы A n -го порядка на единичную матрицу E того же порядка: |
|||||||||||
AE |
EA A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой |
||||||||||
|
матрице, т.е. из того, что AB |
0 , не следует, что A |
0 или B 0 . |
||||||||
|
Например, A |
1 |
1 |
0, B |
1 |
1 |
0 , но |
AB |
0 |
0 |
0 . |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
5.Возведение в степень.
Целой положительной степенью Ak (k 1) квадратной матрицы A
называется произведение k |
матриц, равных A , т.е. Ak |
A A ... A. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
По определению полагают A0 |
E, A1 |
A . |
|
|
|
||
6. |
Транспонирование матрицы |
– переход |
от матрицы |
A |
к |
||
матрице |
AT , в которой |
строки |
и столбцы поменялись местами |
с |
|||
сохранением порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
Из определения следует, что если матрица А имеет размер m |
n , то |
||||||
матрица AT имеет размер n |
m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
Например, A |
4 |
1 |
4 |
0 |
4 |
; AT |
2 |
4 |
2 . |
2 |
5 |
2 |
6 |
3 |
4 |
0 |
6 |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
Свойства операции транспонирования:
1) |
AT |
T |
A . |
|
|||
2) |
A T |
AT . |
|
3) |
A B T |
AT BT . |
|
4) |
AB T |
BT AT . |
|
Свойства операций сложения и умножения матриц:
1) |
A B B |
A. |
|
|
||
2) |
A |
B |
C |
A |
B |
C . |
3) |
A |
B |
|
A |
B . |
|
4) |
A B |
C |
|
AB |
AC . |
|
5) |
A |
B C |
|
AC |
BC . |
|
6) |
AB |
|
A B |
A |
B . |
|
7) |
A BC |
AB C . |
|
|||