12-2

(12) Сопротивление трения при равномерном движении жидкости.

Основное уравнение равномерного движения жидкости.

Основное уравнение равномерного движения жидкости

Штеренлихт, стр. 143-145

Рассмотрим установившее напорное движение несжимаемой жидкости в трубе круглого сечения постоянного диаметра. Из постоянства диаметра следует: . Средняя скорость потока по определению есть отношение объемного расхода к площади живого сечения. Расход в рассматриваемых сечениях одинаков, значит . и – ординаты центров тяжести выделенных сечений, отсчитанные от плоскости сравнения.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 потока вязкой жидкости:

Плоскость сравнения обозначена на чертеже 0-0.

Допустим, что распределение скоростей в сечениях одинаково (), тогда :

(см. рисунок)

Сумма действующих на выделенный объем сил равна произведению его массы на ускорение. В данном случае жидкость движется без ускорения, значит сумма сил, действующих на выделенный объем, равна нулю.

На объем жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 действуют:

массовые силы – сила веса

поверхностные силы:

• давления слева

• давления справа

• силы нормального давления стенок (взаимно уравновешиваются)

• сила вязкого трения, обусловленная касательными напряжениями , действующими на площади (длина участка трубы умноженная на смоченный периметр)

Сумма сил в проекции на ось трубы равна нулю:

Здесь – касательное напряжение между неподвижным слоем на стенке (гипотеза прилипания) и соседним подвижным слоем.

Подставим выражения для сил. Из чертежа очевидно

Разделим на и сгруппируем:

Заметим, что разность в левой части полученного выражения по уравнению Бернулли =.

Учтем, что по определению , получим

Гидравлический уклон . Окончательно

Основное уравнение равномерного движения (как ламинарного, так и турбулентного)

Распределение касательных напряжений по толщине потока.

		В движущемся потоке радиуса выделим цилиндрический объем радиуса , Применим к выделенному объему основное уравнение движения. Гидравлический радиус для круглого потока равен половине (!) геометрического радиуса.
	Следовательно распределение касательных напряжений по радиусу потока линейное, на оси потока и , у стенки и

Повторим: Полученные выводы справедливы для любого равномерного движения,

как для ламинарного, так и для турбулентного.

конец раздела 12