Лекции версия 08_200507-8

Кинематика

(07) Модель сплошной жидкости.

Методы описания движения жидкости: метод Лагранжа и Л. Эйлера.

Основные понятия кинематики жидкости: линия тока, трубка тока, элементарная струйка, поток.

Характеристики потока: живое сечение, смоченный периметр, гидравлический радиус.

Расход жидкости.

Виды движения жидкости: установившееся равномерное и неравномерное, неустановившееся, напорное и безнапорное, плавноизменяющееся.

Уравнение постоянства расхода для жидкости и газа.

Кинематика Кинематика жидкости– раздел гидромеханики, в котором изучают виды и характеристики движения жидкости, но не рассматривают силы, под действием которых это движение происходит.

Модель жидкости– совокупность жидких частиц, заполняющих объем без пустот и разрывов.

Жидкая частица– часть жидкости, малая по сравнению с объемом жидкости, но достаточно большая, чтобы пренебречь молекулярной структурой.

Полюс жидкой частицы– центр тяжести. Движение рассматривается отдельно как движение полюса, вращение вокруг полюса и деформация частицы.

Методы описания движения жидкости

1. Метод Лагранжа¹ –рассматривается движение каждой частицы жидкости.

В начальный момент времени каждая частица имеет координаты . При движении частицы ее координаты зависят от времени: Здесь – параметры Лагранжа.

Проекции скорости частицы на оси;;.

Проекции ускорения на оси ;;.

Метод Лагранжа используется редко, только при решении специальных задач.

2. Метод Эйлера (метод описания движения жидкости)

Метод Эйлера изучает поля векторных или скалярных величин, оставляя в стороне вопрос о движении каждой частицы.

Движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторой неподвижной области, выбранной в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этой области, определяемой координатами находится частица жидкости, имеющая скорость. Эту скорость называютмгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемоеполем скоростей². В общем случае оно может изменяться по времени и по координатам:

;

Переменные называют переменными Эйлера.

Ускорение жидкой частицы в проекциях на оси координат

.

Из математики полный дифференциал функции нескольких переменных

.

Замечание. В общем случае произвольны, однако будем полагать, что это проекции элементарного перемещенияжидкой частицы на оси координат, тогда

,,.

Полная производная скорости по времени (полное ускорение) в проекции на ось и аналогично на другие оси:

Здесь в каждой строке :

первое слагаемое – локальная производная (локальное ускорение)

трехчленная сумма – конвективная производная (конвективное ускорение), поскольку оно определяет ускорение частицы при изменении ее положения в поле скоростей (конвекции) .

Полную производную иногда называют субстанциальной( от слова «субстанция») производной.

Если движение установившееся, т.е. не зависит от времени, то локальные производные равны нулю:

Если движение плоское, т.е. скорости на зависят от и установившееся, то

Если движение одномерное, то имеем ускорение жидкой частицы

(по обозначению ):

.

Метод Эйлера описывает движение жидкости через поле скоростей и поэтому ускорения жидкой частицы в нем выражаются специальной «субстанциальной» производной, а не как в технической механике.