14-6

Ламинарный режим движения жидкости

Рассмотрим распределение скоростей по сечению и потери напора по длине трубы при установившемся ламинарном движении.

Движение равномерное, следовательно эпюра скоростей постоянная по длине трубы. Дополнительное условие: движение изотермическое, то есть температура не меняется, а значит плотность и вязкость тоже.

Режим ламинарный (определение было ранее: слоистое движение без перемешивания, Re≤2320).

Выделим цилиндрический объем движущейся жидкости радиусом и применим к нему основное уравнение равномерного движения жидкости

здесь – касательное напряжение

– гидравлический радиус , – гидравлический уклон

По закону Ньютона , минус потому, что производная отрицательна, т.е. вдоль оси скорость падает, а всегда>0.

=> ( ; ) =>

интегрируем:

Постоянную интегрирования находим из условия, что на стенке при имеем (гипотеза прилипания):

Окончательно

распределение скоростей по сечению в ламинарном режиме

Это парабола, максимум при максимальная скорость

Найдем расход жидкости

Рассмотрим концентрический слой жидкости радиуса толщиной Расход через этот слой , где

Интегрируем по всему сечению по

Учитывая, что =>

Заметим: расход в ламинарном режиме при заданном гидравлическом уклоне  пропорционален четвертой степени диаметра.

Найдем среднюю скорость

Средняя скорость (по определению отношение объемного расхода к площади)

Учитывая , получим

Средняя скорость ровно в два раза меньше максимальной, , .

Коэффициент Кориолиса для ламинарного режима движения

(см. примечание¹ )

Найдем потери напора по длине трубы

Из выражения для средней скорости выразим гидравлический уклон

=>

С другой стороны гидравлический уклон (по определению) , следовательно:

формула Пуазейля

Из формулы видно: потери напора по длине трубы пропорциональны средней скорости потока в первой степени.

Для определения потерь напора по длине трубы обычно используется формула Дарси

, где – коэффициент сопротивления Дарси

Чтобы найти коэффициент Дарси используем только что полученную формулу Пуазейля

Отсюда . Заметим, что

Получим : в ламинарном режиме коэффициент Дарси

Замечание. Формула Дарси справедлива в ламинарном режиме, однако это не означает, что потери напора в этом случае пропорциональны квадрату скорости. Сам коэффициент Дарси пропорционален скорости в степени минус один (скорость входит в число Re). Следовательно, как и утверждалось ранее, потери напора по длине трубы при ламинарном режиме движения пропорциональны средней скорости потока в первой степени.

Начальный участок ламинарного течения

Начальный участок течения – участок от начала трубы, на котором формируется параболический профиль скоростей. За пределами этого участка имеем стабилизированное ламинарное течение, параболический профиль скоростей остается неизменным, как бы ни была длинна труба, при условии сохранения ее прямолинейности и постоянства сечения.

Длина начального участка – расстояние от входа в трубопровод до сечения, в котором скорость распределена по параболическому закону с точностью 1%.

Потери на начальном участке больше примерно на 9%

Происходит стабилизация профиля скоростей, а производные выше, чем в основном участке трубы. В практических расчетах увеличением потерь на начальном участке обычно пренебрегают, однако учитывают потери на вход из бака в трубу .

Ламинарное течение в узких щелях (зазорах)

Рассмотрим плоский зазор между неподвижными пластинами.

Толщина (величина) зазора , длина зазора по направлению движения жидкости , ширина зазора . Жидкость движется через зазор под действием перепада давления . Полагаем, что течение установившееся и изотермическое (температура жидкости не меняется) и вязкость жидкости постоянна.

Рассмотрим малый слой жидкости высотой , расположенный симметрично по центру зазора. На этот слой действуют тормозящие касательное напряжение, по закону Ньютона:

, здесь – динамическая вязкость жидкости, – градиент скорости слоистого движения в направлении оси , величина отрицательная, т.к. скорость местная скорость потока уменьшается при увеличении , поэтому в формуле знак минус.

Запишем основное уравнение равномерного движения для выделенного фрагмента:

, где – касательное напряжение;

– гидравлический радиус, по определению , т.к. , то ;

– гидравлический уклон, по определению .

Приравняем выражения для : , откуда

Интегрируем

Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся граничным условием, вытекающим из гипотезы прилипания : при имеем , откуда

Скорость при движении в щели

Это уравнение параболы, скорость максимальна при :

Для определения расхода жидкости через щель выделим в ней элементарный слой толщиной , отстоящий от оси потока на расстояние .

Площадь выделенного слоя , скорость , расход

Проинтегрируем по всему потоку, вследствие симметрии потока при интегрировании от 0 до результат нужно удвоить.

Вспомним, что и

Расход через узкую щель

Замечание: утечки через зазор пропорциональны ширине в третье степени, т.е. при увеличении зазора в 2 раза утечки возрастают в 8 раз.

Утечки через зазор в поршневой паре (диаметр поршня , величина зазора )

При несимметричном расположении поршня в зазоре (при наличии эксцентриситета)

расход увеличивается и при максимальном эксцентриситете .

конец раздела 14

1 Вычисление сводится к алгебраическим преобразованиям, не представляющим интереса в данном курсе. Вычислим отдельно числитель и знаменатель.

Для числителя используем скорость элементарная площадь .

Формула сокращенного умножения Числитель =

Знаменатель = . Очевидно знаменатель в 2 раза меньше числителя.