Уравнение д. Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении

В качестве исходных возьмем дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера, умножим их соответственно на и сложим.

Произведем упрощение полученного выражения.

1. Полный дифференциал давления (движение установившееся)

2. Преобразуем правую часть:

Окончательно получим:

Первые три слагаемых называют полным дифференциалом силовой функции и обозначают .

Рассмотрим частный случай. Из массовых сил действует только сила тяжести.

Следовательно .

Проинтегрируем и разделим на :

Для двух сечений элементарной струйки можно записать

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в установившемся движении.

Энергетически это выражает закон сохранения полной удельной (отнесенной к единице веса) энергии жидкости в элементарной струйке.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости в установившемся движении

При движении вязкой жидкости происходят потери энергии, которые должны быть учтены в уравнении Бернулли

,

где – потери удельной энергии при перемещении из сечения 1 в сечение 2.

Уравнение Бернулли для всего потока реальной жидкости

Выделим в сечении потока элементарную струйку ( скорость , сечение ). Полная удельная энергия элементарной струйки в данном сечении . Это удельная энергия, т.е. отнесенная к единице веса.

Если ее умножить на весовой расход через рассматриваемое сечение, то получим полую энергию, протекающую через поперечное сечение струйки в единицу времени

Объемный расход , весовой расход .

Полная энергия, протекающая в единицу времени через все сечение потока

Удельная энергия для всего сечения потока (полная энергия отнесена к весовому расходу)

.

Вычислим:

Замечания.

1. При установившемся движении плавно изменяющегося потока жидкости давление распределяется согласно гидростатическому закону, т.е.

2. По определению

Окончательно ,

где – коэффициент Кориолиса. Физический смысл:

.

( здесь масса жидкости, проходящая за единицу времени через поперечное сечение элементарной струйки обозначена ; всего потока – )

Коэффициент Кориолиса есть отношение кинетической энергии, протекающей в единицу времени через поперечное сечение потока, при действительном распределении скоростей к такой же энергии, посчитанной по средней по сечению скорости.

Характеризует неравномерность распределения скоростей по сечению потока и равен :

ламинарный режим 2

турбулентный режим

В практических расчетах обычно принимают .

Уравнение Бернулли для всего потока вязкой жидкости

– потери полной удельной энергии потока между сечениями 1 и 2 Эти потери называются потери на трение и обозначаются . Забегая вперед отметим, что в гидравлике потери на трение в потоке рассматриваются как сумма потерь на трение по длине трубы и потерь в местных сопротивлениях

.