27

p1 – в системе S3 есть неиспользованные выражения (они могут быть начальными или не начальными).

p1 – в системе S3 все выражения использованы

p2 – незаконченная строка окончилась символом оператора Ai. p2 – неоконченная строка оканчивается символом w ­i .

p3 – неоконченная строка оканчивается символом Aк. ( p3 = p2 ) p4 – в системе S3 есть неиспользованные начальные выражения. p4 – в системе S3 нет неиспользованных начальных выражений. p5 – в полученной строке использованы все операторы из S3.

p5 – в полученной строке использованы не все операторы из S3.

С точки зрения практики проектирования различных устройств обработки информации, в частности микропрограммных автоматов, главная цель преобразования операторных схем – это минимизация элементарных выражений (операторов и ЛУ). Нижняя граница числа операторов определяется количеством неповторяющихся операторов а алгоритме. А число ЛУ определяется двумя методами:

1.Порядком вынесения логических переменных при построении системы скобочных формул S2.

2.Возможностью объединения равносильных подформул в системе схемных формул перехода S3.

Поэтому выносить переменные за скобки нужно так, чтобы получить возможно большее число равносильных подформул.

Таким образом, используя инструментарий формул перехода, возможно не только построить равносильную ЛСА, МСА или ГСА, но из всех возможных вариантов отыскать вариант с минимальным числом элементарных выражений.

4.5Равносильные преобразования матричных схем алгоритмов

Интересный метод преобразования МСА (а значит и ЛСА, и ГСА) предложен в работе [5]. Он основан на учёте корректно заданного множества распределения сдвигов. Если некоторый оператор Ai не может влиять на состояние логической

гическая функция a( p1, p2 ,..., pn ) с учётом указанного факта в некоторых случаях может быть упрощена

.

Определение

28

где F ¢, F ¢¢ – логические функции не зависящие от pi (они не содержат этой переменной),

~ – волнистая линия означает, что переменная может иметь любое зна- pi

чение pi или pi .

В случае, если F ¢¢ = 0 , то указанная функция называется «сокращённая особен-

ная» функция относительно переменной ~i , если F ¢¢ = 0 , F ¢ =1 , то сокращённая p

особенная функция вырождается в переменную ~ . pi

С учётом этого определения процесс минимизации алгоритма, представленного в терминах МСА, сводится к следующему.

Пусть дана некоторая МСА U и распределение сдвигов для всех операторов Ai - Фi ÎФ , где Ф = {p1 , p2 ,...,pn } – полное множество логических переменных в МСА, а Фi ÎФ – подмножество полного множества, может быть и пустое.

Сформируем дизъюнкции элементов МСА для каждого столбца. Если дизъюнкция Ai-го столбца окажется сокращённой особенной функцией относитель-

но переменной ~ Ï , т.е. не принадлежит данному распределению сдвигов, то

p j Фi

в строке матрицы оператора Ai эта переменная может быть заменена на единицу, а её инверсия – на нуль. Естественно, МСА после этой операции замены упростится, но будет равносильна первоначальной. Далее может оказаться что:

1.Элементы матрицы некоторых столбцов могут состоять из нулей. Эти столбцы и соответствующие им строки можно вычеркнуть.

2.Все элементы некоторого столбца Ai, кроме элемента aij , равны нулю. Этот

столбец и соответствующую ему строку также можно вычеркнуть.

3.Особо отметим случай, когда дизъюнкция элементов столбца Ai равна единице. Это означает безусловный переход от некоторого оператора Al к оператору Ai. Такая дизъюнкция не может быть сокращённой особенной функцией, а значит этот столбец вместе с соответствующей строкой не подлежит минимизации. Иногда в такой ситуации возможны специальные методы минимизации с использованием понятия подчинённости оператора некоторой логической функции.

29

Пример 4.6

Дана МСА

И задано распределение сдвигов следующего вида

A0 , Aк - Ф = {p1, p2 , p3 , p4 },

A1 - F1 = {p2 , p3 , p4 },

A2 - F2 = {l },

A3 - F3 = {p3 },

A4 - F4 = {p1, p2 , p3}, A5 - F5 = {p1, p4 }.

В соответствии с вышесказанным построим дизъюнкции столбцов МСА

Дизъюнкцию столбца с оператором Aк не строим, так как нет строки с тем же индексом. Из анализа дизъюнкций видно, что FA1 , FA3 , FA5 – сокращённые особенные

функции, следовательно в строках A1, A3 , A5 проводим замены логических переменных следующим образом:

Тогда МСА¢ = МСА имеет вид:

используемыми. В практике построения микропрограммных автоматов такие случаи встречаются часто. Интуитивно ясно, что учёт этого обстоятельства может позволить упростить ЛСА. В работе [4] предложен способ минимизации ЛСА с учётом неиспользуемых наборов логических переменных.

Пусть в ЛСА U задано l независимых логических переменных p1, p2 ,..., pl , образующих 2l наборов значений D1, D2 ,..., Dm , Dm+1, ,...D2l этих переменных. Из анализа

работы микропрограммного автомата выясняется, что часть этих наборов не могут встретиться при реализации алгоритма. Тогда каждому неиспользованному набору dt (t = 1, r, r < 2l ) можно сопоставить элементарную конъюнкцию, которую назовём «неиспользуемая элементарная конъюнкция», а допустимую последовательность наборов переменных p1, p2 ,..., pl назовём «частично допустимой», если она не содержит неиспользуемых наборов.

ЛСА U и U ¢ назовём «квазиравносильными» (U » U ¢), если для любой частично допустимой последовательности наборов значения U и U ¢ совпадают.

Обозначим логическую функцию gi ( p1 , p2 ,..., pl ) как дизъюнкцию всех или любой части неиспользуемых элементарных конъюнкций, число которых 2r . Тогда неиспользуемые элементарные конъюнкции можно представить в виде условных конъюнкций

где запись в виде дроби означает, что можно использовать любое из значений – числитель или знаменатель. Выражение вида

называется «неопределённой логической функцией» или «общим решением». Из этого общего решения путём выбора различных конъюнкций можно получить конечное число частных решений. Из всех возможных частных решений выбираем такие, которые минимизируют число логических переменных. Преобразование алгоритма удобно вести в терминах МСА, которая называется «недетерминированной» в силу недоопределённости элементов матрицы. После доопределения этих элементов можно использовать общий подход к построению ЛСА через системы формул перехода S1, S2, S3.

Пример 4.7

Пусть дана ЛСА

В представленной ЛСА есть неиспользуемые наборы логических переменных

p1 p2 p3 и p1 p2 p3 . Тогда g1 = p1 p2 p3 , g 2 = p1 p2 p3 , g3 = p1 p2 .

Построим МСА U ¢, равносильную заданной ЛСА U.

32

Подчёркнутые логические элементы матрицы соответствуют неиспользуемым наборам. Так как они не встречаются в алгоритме по условиям его реализации, их можно использовать при построении недоопределённых формул перехода