3. Контрольные вопросы и задания

Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок:

1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл, его свойства.

2. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование.

3. Замена переменной в неопределенном интеграле (подстановка и внесение под знак дифференциала).

4. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

5. Интегрирование рациональных дробей.

6. Интегрирование иррациональных функций.

7. Интегрирование тригонометрических функций.

8. Определенный интеграл (по Риману), его геометрический смысл, свойства.

9. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

10. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Сходимость и расходимость несобственных интегралов.

11. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

Студент должен уметь:

1. Находить неопределенный интеграл по таблице с применением свойств и тождественных преобразований подынтегральной функции (метод непосредственного интегрирования).

2. Находить неопределенный интеграл методом замены переменной и по частям.

3. Интегрировать простейшие рациональные дроби.

4. Интегрировать рациональные дроби, используя разложение на простейшие рациональные дроби; выделять целую часть неправильной дроби.

5. Интегрировать тригонометрические функции с использованием тригонометрических преобразований. Находить интегралы вида.

6. Интегрировать иррациональные функции с применением линейной подстановки.

7. Вычислять определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

8. Вычислять определенный интеграл методом замены переменной и по частям.

9. Вычислять по определению и устанавливать сходимость (расходимость) несобственных интегралов с бесконечными пределами.

10. Применять определенный интеграл при решении геометрических задач (площадь плоской фигуры, объем тела вращения, длина дуги плоской кривой).

11. Применять определенный интеграл при решении физических задач (работа переменной силы, путь, пройденный телом, масса плоской кривой).

ОБРАЗЦЫ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1. Используя таблицу и свойства, найти неопределенные интегралы:

2. С помощью подходящей замены переменной, найти неопределенные интегралы:

.

3. Применяя формулу интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы:

4. Используя разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, найти неопределенный интеграл .

5. Найти неопределенные интегралы:

6. Используя формулу Ньютона-Лейбница и основные методы интегрирования, вычислить определенные интегралы:

7. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

8. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.

9. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями Сделать чертеж.

10. Вычислить длину дуги кривой отдо.

11. Скорость тела меняется по закону . Какой путь пройдет тело за 5?

ОТВЕТЫ

1. а) ; б); в).

2. а) ; б); в).3. а) ; б); в). 4. .5. а) ; б).6. а) ; б); в).7. а) Расходится; б) . 8. а) ; б). 9. .10. .11. .

31