5. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим нахождение интегралов вида .

В зависимости от степени тригонометрических функций используются следующие приемы:

1. если – целое положительноенечетное число , то, отделяя от нечетной степени один сомножитель, выражаем с помощью основного тригонометрического тождестваоставшуюся четную степеньи делаем подстановку, тогдаисводится к табличным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл .

Здесь – нечетное число, тогда преобразуем подынтегральную функцию и сделаем подстановку:

.

2. если – целое положительноенечетное число , то, отделяя от нечетной степени один сомножитель, выражаем с помощью основного тригонометрического тождестваоставшуюся четную степеньи делаем подстановку, тогдаисводится к табличным интегралам.

Пример 2. Найти интеграл .

Здесь – нечетное число, тогда преобразуем подынтегральную функцию и сделаем подстановку:

.

Пример 3. Найти интеграл .

.

3. если и– целые неотрицательныечетные числа, то используем формулы понижения степени:

.

Пример 4. Найти интеграл .

Здесь – четные числа. Тогда

.

Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы преобразования произведений в суммы или разности.

Пример 5. Найти интеграл .

.

6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Интегралы вида , т.е. интегралы, содержащие квадратичную иррациональность в знаменателе. Для их нахождения надо под корнем выделить полный квадрат и сделать подстановку.

Пример 1. Найти интеграл .

.

2. Если подынтегральное выражение содержит корни от линейной функции , т.е.и т.д., то интеграл от иррациональной функции находится с помощью подстановки, где– наименьшее общее кратное чисел(обозначается).

Пример 2. Найти интеграл .

Пусть . Тогда

.

Пример 3. Найти интеграл .

Здесь . Пустьи

.

Замечание. Рассмотренные методы интегрирования позволяют во многих случаях найти первообразную подынтегральной функции (неопределенный интеграл). Однако первообразная не всякой элементарной функции является элементарной функцией. В этом случае говорят о неберущихся интегралах.

Например, не существует элементарной функции, производная которой равна , т.е.– неберущийся интеграл. Аналогично,– примеры неберущихся интегралов. Первообразные для таких интегралов существуют и являются специальными функциями.

2. Определенный интеграл

Пусть функция определена на отрезке. Разобьем отрезокначастичных отрезковточками.

Интегральной суммой функции называется сумма , где– длина- го частичного отрезка разбиения,– произвольная точка отрезка.

Геометрически представляет собой алгебраическую сумму площадей прямоугольников с основаниямии высотами.

Определенным интегралом или интегралом Римана от функции называется конечный пределпри, т.е., не зависящий от способа разбиения отрезка на части и от выбора точек(если он существует).

В этом случае функция называетсяинтегрируемой на отрезке .

Определенный интеграл от функции на отрезкеобозначается, где– нижний предел интегрирования,– верхний предел интегрирования.

Таким образом, по определению

. (*)

Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции , осьюи прямыми, причем площади, расположенные выше оси, входят в эту сумму со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси, – со знаком минус.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на нем.

Нахождение определенного интеграла по определению довольно затруднительно, поэтому при вычислении определенного интеграла от непрерывной функции используют формулу Ньютона – Лейбница:

, (3)

где – первообразная функциина отрезке.

Формула (3) устанавливает связь определенного интеграла с неопределенным интегралом и позволяет вычислить определенный интеграл, если известна одна из первообразных подынтегральной функции.

Примеры:

1. .

2. .