1. Свойства определенного интеграла

1. По определению, .

2. .

3. .

4. .

5. (свойство аддитивности).

6. .

7. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на, то существует точкатакая, что. Числоназываетсясредним значением функции на отрезке.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Раскроем скобки и по свойствам 1 и 2 определенного интеграла получим:

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Разложим знаменатель на множители, к 1 в числителе прибавим и вычтем и разделим почленно числитель на знаменатель:

.

Заметим, что данный интеграл можно найти методом неопределенных коэффициентов, разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби.

2.2 Интегрирование методом замены переменной и по частям в определенном интеграле

Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле аналогичны соответствующим формулам (1) и (2) в неопределенном интеграле:

1. –(4)

формула замены переменной в определенном интеграле, где и– непрерывно дифференцируемая функция на отрезке.

Напомним, что формула часто применяется в обратном порядке:

, где .

Замена пределов интегрирования позволяет после нахождения первообразной подынтегральной функции не делать обратную подстановку, а подставить новые пределы интегрирования вместо переменной , которые определяются из соответствующих равенств.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Пусть , тогда;, тогда.

.

2. –(5)

формула интегрирования по частям в определенном интеграле, где – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке.

Пример 2. Вычислить интеграл .

.

3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда промежуток интегрирования является бесконечным.

Пусть функция определена на промежуткеи интегрируема на любом отрезке.

Если существует конечный предел , то он называетсянесобственным интегралом с бесконечным верхним пределом (1-го рода) и обозначается .

Таким образом, по определению

. (6)

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интегралрасходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :

–несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом.

По определению, несобственный интеграл с бесконечными пределами

,

где – произвольное действительное число.

В этом случае интеграл сходится, если сходятся оба интеграла правой части.

Примеры.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. 

, т.к. . Интеграл расходится.

2. 

.

3. 

, т.к. .

3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры.

Вычисление площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла.

1. Площадь плоской фигуры, ограниченной кривой , осьюи прямыми(рис. 1), находится по формуле

. (7)

Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Замечание. Если , то.

2. Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми и прямыми(рис. 2), находится по формуле

. (8)

В некоторых случаях удобно использовать формулы, аналогичные формулам (7) и (8), считая функцией от.

3. Площадь плоской фигуры, ограниченной кривой , осьюи прямыми(рис. 3), находится по формуле

. (9)

4. Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми и прямыми, находится по формуле

. (10)

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Абсцисса точки пересечения линий (парабола, смещенная вправо на 2 единицы) и(прямая, проходящая через начало координат под угломк оси) находится подбором:. Фигура, ограниченная данными кривыми состоит из двух частей, заданных на отрезкахи, поэтому ее следует разбить на части, найти площадь каждой области и полученные результаты сложить (свойство 5 определенного интеграла). Каждая из площадей находится по формуле (7).

.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделать чертеж.

Для данных кривых (парабола, ветви которой направлены вправо, и прямая, рис. 4) наиболее рационально найти ординаты точек пересечения, решив систему уравнений: .

На отрезке выполняется, тогда площадь фигуры находим по формуле (10):

2. Объем тела вращения.

Рассмотрим вращение плоских фигур вокруг координатных осей прямоугольной декартовой системы координат.

1. Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой, осьюи прямыми, находится по формуле

. (11)

2. Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривымии прямыми, находится по формуле

. (12)

3. Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой, осьюи прямыми, находится по формуле

. (13)

4. Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривымии прямыми, находится по формуле

. (14)

Пример 1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг: а) оси; б) оси. Сделать чертеж.

Фигура (криволинейная трапеция) ограничена ветвью параболы и прямыми.

а) Построим тело (рис. 5).

Тогда по формуле (11):

.

б) Построим тело (рис. 6).

Тогда по формуле (14):

.

Пример 2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси.

Найдем абсциссы точек пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: .

На отрезке выполняется, тогда объем тела находим по формуле (12):

.

3. Длина дуги плоской кривой.

Рассмотрим случаи, когда кривая задана явно и параметрически.

1. Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением на отрезке, находится по формуле

, (15)

где – непрерывно дифференцируемая функция на.

2. Длина дуги плоской кривой, заданной уравнениями на отрезке, находится по формуле

, (16)

где – непрерывно дифференцируемые функции на.

Пример. Найти длину дуги кривой .

Данное уравнение задает окружность, где . Найдем четвертую часть длины дуги. Тогда по формуле (15):

.

Рассмотрим другой способ решения. Параметризуем уравнение окружности: , где. Тогда длина дуги по формуле (16) равна:

.

4. Путь, пройденный телом.

Путь, пройденный телом за отрезок времени со скоростью, находится по формуле

. (17)

Пример. Скорость автобуса при торможении меняется по закону . Какой путь пройдет автобус от начала торможения до остановки?

Тело остановится, если скорость равна нулю, т.е. , тогда. По формуле (17) находим путь:

.

5. Работа переменной силы.

Работа переменной силы , направленной вдоль осина отрезке, находится по формуле

. (18)

Пример. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на , если сила врастягивает ее на?

По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению, т.е. , где– коэффициент пропорциональности,– растяжение пружины. По условию. Тогда по формуле (18) находим работу:

.

6. Масса неоднородного стержня.

Масса неоднородного стержня линейной плотности на отрезке, находится по формуле

. (19)

Пример. Найти массу стержня длины , если линейная плотность стержня меняется по закону, где– расстояние от одного из концов стержня.

Массу стержня находим по формуле (19):

.