5. Оценить качество и надежность построенной модели. Оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии.

Данная оценка заключается в проверке нулевой гипотезы Н₀ о значимости отличия коэффициентовb₂,b₁иb₀ от нуля с использованием критерия Стьюдента.

Для этого вычислим значения

Исходя из предыдущих вычислений b₂= 86,79,b₁ = 175,62 иb₀ = - 1702

Найдем остаточную сумму квадратов по формуле:

y	ŷ	y-ŷ	(y-ŷ)2
615,9	386,62	229,28	52569,32
850	719,24	130,76	17098,18
961	1034,3	-73,3	5372,89
1022,3	1156,2	-133,9	17929,21
1137,5	1330,78	-193,28	37357,16
1279,2	1435,12	-155,92	24311,05
1372,3	1504,34	-132,04	17434,56
1724,7	1907,22	-182,52	33313,55
2095,5	2064,2	31,3	979,69
2152	1975,4	176,6	31187,56
2232,1	1921,7	310,4	96348,16
2942	2763,56	178,44	31840,83
2600	2516,7	83,3	6938,89
1954	1971,32	-17,32	299,9824
2144	2233,7	-89,7	8046,09
2334	2496,08	-162,08	26269,93
		∑ui=0	∑ ui2 = 407297

Для графической иллюстрации приближения корреляционной функции ŷи выборочных данныхy_i воспользуемся графической интерпретацией результатов:

Дисперсию регрессии найдем по формуле:

= = 31330,54

Проверим статистическую значимость коэффициентов регрессии, предварительно рассчитав , гдеz_jj -j-й диагональный элемент матрицыZ¹= (Х^Т*Х)^-1, тогда

=31330,54*5,222=163608,08;

=31330,54*0,028=877,26;

=31330,54*0,005=156,66;

Вычислим значения:

= -1702/404,49 = 4,21

= 175,62/29,62 = 5,93

= 86,79/12,52 = 6,94

Т_табл.= 2,145

Тb₀>t_табл

Тb₁>t_табл

Тb₂>t_табл

 Статистическая значимость коэффициентов b0,b1 иb2 регрессии подтверждается.

Построить доверительные интервалы для найденных коэффициентов.

Найдем интервальные оценки параметров , и при уровне значимости α = 0,01,

Использую следующую формулу:

Зная уровень значимости α= 0,01 и число степеней свободыk=13, по таблице Стьюдента.

Интервальные оценки параметра :

= -2569,64-834,36

Интервальные оценки параметра :

= 112,08239,16

Интервальные оценки параметра :

= 59,93113,65

Вычислить коэффициент детерминации r2 и оценить его статистическую значимость.

Для проверки общего качества уравнения регрессии используется коэффициент детерминации R²:

Проанализировать статистическую значимость коэффициента детерминации. Для этого проверим гипотезы Н₀: R² = 0;H₁:R² > 0. Для проверки используем распределение Фишера. ВычислимF-статистику.

y	ŷ	ŷ-y	(ŷ-y)2	yi-yср	(yi-yср)2
615,9	386,62	-229,28	52569,32	-1097,63	1204794
850	719,24	-130,76	17098,18	-863,531	745686,2
961	1034,3	73,3	5372,89	-752,531	566303,3
1022,3	1156,2	133,9	17929,21	-691,231	477800,6
1137,5	1330,78	193,28	37357,16	-576,031	331812
1279,2	1435,12	155,92	24311,05	-434,331	188643,6
1372,3	1504,34	132,04	17434,56	-341,231	116438,8
1724,7	1907,22	182,52	33313,55	11,16875	124,741
2095,5	2064,2	-31,3	979,69	381,9688	145900,1
2152	1975,4	-176,6	31187,56	438,4688	192254,8
2232,1	1921,7	-310,4	96348,16	518,5688	268913,5
2942	2763,56	-178,44	31840,83	1228,469	1509135
2600	2516,7	-83,3	6938,89	886,4688	785826,8
1954	1971,32	17,32	299,9824	240,4688	57825,22
2144	2233,7	89,7	8046,09	430,4688	185303,3
2334	2496,08	162,08	26269,93	620,4688	384981,5
yср=1713,531			=407297		=7161745

При уровне значимости α=0,05 по таблице критических точек Фишера найдемf_кр=19,42.

Так как F=101.86>f_кр=19,42, тоR² статистически значим.

В множественной регрессии каждая новая переменная x_iприводит к увеличениюR² , хотя это не означает, что уравнение регрессии становится более значимым. Чтобы исключить зависимость от числа переменных, используют скорректированный коэффициент детерминации:

²==1 – 0,06*1,16=1 – 0,07=0,93

На основе проведенных вычислений можно сделать вывод, что поостренное уравнение регрессии объясняет 94% разброса зависимой переменной. Рассчитанный для исключения зависимости R² от числа переменных скорректированный коэффициент детерминации меньше коэффициента детерминации.