20. Математическое ожидание и дисперсия числа появления события в независимых опытах.

Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний. Пусть производится n независимых опытов, вероятность появления события в каждом из которых равна Р. Число появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно:  Число   появления события в n опытах состоит из числа появлений события в отдельных опытах, т.е.

где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).

	0	1
Р	1-р	р

Поэтому

или

т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность 5

Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний.

 Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равна р. Выразим, как и прежде, число появления события Х через число появления события в отдельных опытах

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины независимы. А в силу независимостиимеем

	0	1
Р	1-р	р

Но каждая из случайных величин имеет закон распределения и , поэтому по определению дисперсии

,

где q=1-p

В итоге имеем , 

Среднее квадратическое отклонение числа появления событий в n независимых опытах равно .

17. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

22. Закон равномерного распределения.

Равномерный закон распределения.

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х)имеет следующий вид:

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то

откуда с=1/(b-a).

 Теперь функцию f(x) можно представить в виде

  

Построим функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [a, b]:

: Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

 Найдем числовые характеристики.

Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:

22.

Таким образом, математическое ожидание случайной вели чины, равномерно распределенной на отрезке [a, b] совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины

откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (,), принадлежащий целиком отрезку

[a, b]: 

Геометрически эта вероятность представляет  собой  площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

23. Экспонентный закон распределения.