Соотношение
между возможными значениями случайной
величины и их вероятностями
называется законом
распределения дискретной случайной
величины.
Закон распределения
может быть задан аналитически, в виде
таблицы или графически.
Таблица соответствия
значений случайной величины и их
вероятностей называется рядом
распределения. Законом
распределения случайной дискретной
величины (X) называется всякое соотношение,
устанавливающее связь между возможными
значениями случайной величины (x1,x2,...xn) и
соответствующими им вероятностями
(p1,p2,... ,pn). При этом события (x1,x2,...xn) образуют
полную группу (т.е. появление одного из
них является достоверным событием),
что означает
Про случайную
величину X в таком случае говорят,
что она подчинена данному закону
распределения.
Простейшей формой
задания этого закона является таблица,
в которой перечислены возможные значения
случайной величины и соответствующие
им вероятности: Возможное
значение X X1 Х2 ... Хn Вероятность Р1 Р2 ... Рn
Такая таблица
называется таблицей
распределения (вероятностей) случайной
величины X.
Графически закон
распределения дискретной случайной
величины можно представить в виде
многоугольника распределения – ломаной,
соединяющей точки плоскости с координатами
(xi, pi).
x1 x2 x3 x4 x5
Графическое
представление этой таблицы
называется многоугольником
распределения. При этом сумма все
ординат многоугольника распределения
представляет собой вероятность всех
возможных значений случайной величины,
а, следовательно, равна единице.
Функцией распределения
F(x) случайной величины Х называется
вероятность того, что случайная величина
примет значение, меньшее х:
F (x) = p (X < x).
(4.1)
Свойства
функции распределения.
0 ≤
F(x) ≤ 1.
Действительно,
так как функция распределения представляет
собой вероятность, она может принимать
только те значения, которые принимает
вероятность.
Функция распределения
является неубывающей функцией, то есть
F(x2) ≥ F(x1) при х2 > x1. Это следует из того,
что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥
F(x1).
В частности, если
все возможные значения Х лежат на
интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) =
1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие
невозможное, а X < b – достоверное.
Вероятность того,
что случайная величина примет значение
из интервала [a, b], равна разности значений
функции распределения на концах
интервала:
p ( a <
X < b ) = F(b) – F(a).
Если
R — это непрерывная случайная величина,
которая распределена равномерно в
интервале (0, 1), а r — ее возможные
значения, то вероятность попадания
величины R (в результате испытания) в
интервал (с, d), принадлежащий интервалу
(0, 1), равна его длине:
14. Закон распределения дискретной случайно величины. Многоугольник распределения.
(1)
15. Функция распределения и её свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.
В самом деле, плотность рассматриваемого
равномерного распределения равна:
а значит, вероятность
попадания случайной величины R в интервал
(с, d) будет: