Эконометрика_Практикум

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Решение:

А) Модель имеет две эндогенные (у1 , у2 ) и две экзогенные (х1 , х2 ) пе-

ременные. Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Необходимое условие идентифицируемости (счётное правило проверки на идентифицируемость): Обозначим Н – число эндогенных переменных в i- ом уравнении системы, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение. Тогда:

D+1 = Н – уравнение идентифицируемо;

D+1 < Н – уравнение неидентифицируемо; D+1 > Н – уравнение сверхидентифицируемо.

В соответствии с достаточным уловием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не меньше, чем число эндогенных переменных модели минус 1. В нашей задаче ранг должен быть не меньше 2 1 1.

Для удобства проверки составим матрицу коэффициентов при переменных системы:

Проверим первое уравнение.

Необходимое условие: эндогенных переменных Н 2 (у1 , у2 ), отсутствующих экзогенных D 1 (х2 ) .

Выполняется необходимое условие: 1 1 2 .

Достаточное условие: в первом уравнении отсутствует (х2 ) . Матрица коэффициентов при отсутствующих переменных во втором уравнении: а22 .

Определитель этой матрицы а22 а22 0 .

Таким образом, определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 1. Следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Необходимое условие: эндогенных переменных Н 2 (у1 , у2 ), отсутствующих экзогенных D 1 (х1 ).

61

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Выполняется необходимое условие: 1 1 2 .

Достаточное условие: во втором уравнении отсутствует (х1 ). Матрица коэффициентов при отсутствующих переменных: а11 . Определитель этой матрицы а11 а11 0.

Определитель матрицы также не равен нулю, ранг матрицы равен 1. Следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Вывод: так как каждое уравнение модели является точно идентифицируемым, то и вся модель точно идентифицируема.

Б) Приведённая форма модели имеет вид:

y1 11x1 12 x2 u1,y2 21x1 22 x2 u2.

В) В случае точно идентифицируемой структурной модели применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы:

1. Структурная модель преобразовывается в приведенную форму мо-

дели.

2.Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ij .

3.Коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.

1.Приведённую форму модели мы получили в пункте Б).

2.Применим традиционный МНК для каждого уравнения приведённой формы модели. Определим δ–коэффициенты.

Для этого сначала преобразуем данные, вычислив их в отклонениях от средних уровней.

Рассчитаем средние значения переменных, используя встроенную функцию СРЗНАЧ в MS Excel. Получим средние значения:

у1 4, у2 6, х1 3,2 , х2 3,6 .

62

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Тогда новые значения переменных:

Рассмотрим у1 в качестве зависимой переменной, а x1 , x2 – в качестве

независимых переменных в первом уравнении приведённой формы. В результате получим: y1 0,3136 x1 0,4746 x2 .

Второе уравнение приведённой формы, где у2 – зависимая переменная, x1 , x2 – независимые переменные, имеет вид: y2 0,7936 x1 0,1775 x2 .

Таким образом приведённая форма модели:

y1 0,3136 x1 0,4746 x2 ,y2 0,7936 x1 0,1775 x2 .

3. Перейдём от приведённой формы модели к структурной.

Для того чтобы получить первое уравнение структурной формы, необходимо исключить переменную x2 из уравнения, выразив её из второго и

Чтобы получить второе уравнение структурной модели, исключим x1

из второго уравнения приведённой формы модели, выразив её из первого уравнения и подставив во второе:

63

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

модели.

Таким образом структурная форма модели имеет вид:

y1 2,6738 y2 1,8083 x1 , .у2 2,5306 y1 1,0235 x2 .

Перейдём от переменных в виде отклонений от среднего уровня к исходным переменным.

Свободные члены уравнений определим по формулам:

Тогда структурная модель примет вид:

Пример 2. Простейшая структурная форма модели имеет вид:

y1 b12 (y2 x1 ) 1 ,

у2 b21 y1 a22 x2 2, .

Пусть для построения этой модели мы располагаем теми же данными, что и в примере 1.

Необходимо:

А) Провести идентификацию модели.

Б) Записать приведённую форму модели.

В) Определить метод оценки параметров модели и рассчитать неизвестные параметры.

Решение:

А) В данной модели две эндогенные (у1 , у2 ) и две экзогенные (х1 , х2 )

переменные. Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Первое уравнение:

Заметим, что в первом уравнении на параметры при переменных у2 и х1 наложено ограничение: b12 a11 . Переменная у2 в данном уравнении не

может рассматриваться как эндогенная, т.к. она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной х1 .

64

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Таким образом, в этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у1 ( Н 1) и одна экзогенная переменная х1 ( D 1). В соответствии

со счётным правилом идентификации (необходимым условием) получаем

D 1 H (1 1 1) .

Следовательно, первое уравнение структурной формы модели сверхидентифицировано.

Второе уравнение не изменилось и является точно идентифицируемым (смотреть пример 1).

Вывод: так как в системе есть сверхидентифируемое уравнение, то и вся модель сверхидентифицируема.

Б) Приведённая форма модели имеет вид:

y1 11x1 12 x2 u1,y2 21x1 22 x2 u2.

В) В случае сверхидентифицированной модели применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Для начала нужно оценить параметры приведённой формы модели. Применим традиционный МНК для каждого уравнения и определим δ– коэффициенты. Так как мы используем те же данные, что и в примере 1, то получим ту же систему приведённых уравнений:

y1 0,3136 x1 0,4746 x2 ,y2 0,7936 x1 0,1775 x2 .

Затем на основе второго уравнения данной системы найдём теоретические значения для эндогенной переменной у2 , т.е. уˆ2 . С этой целью в уравнение y2 0,7936 x1 0,1775 x2 подставляем значения х1 и х2 (в нашем примере это отклонения от средних уровней).

Для реализации этой задачи в MS Excel в первую ячейку столбца 6 запишите соответствующую формулу y2 0,7936 x1 0,1775 x2 , нажмите En-

ter, для остальных ячеек «протяните» результат первой ячейки. Оценки уˆ2 приведены во вспомогательной таблице (столбец 6):

После этого заменим фактические значения у2 в первом структурном уравнении y1 b12 (y2 x1 ) на их оценки уˆ2 и найдём значения новой переменной z yˆ2 x1 (7-й столбец таблицы):

65

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Далее применим обычный МНК к уравнению y1 b12 z .

Коэффициент b12 0,3134.

Таким образом, сверхидентифицируемое структурное уравнение: y1 0,3134 (y2 x1 ) .

Ввиду того, что второе уравнение нашей системы не изменилось, то её структурная форма, найденная из системы приведённых уравнений, та же:

y2 2,5306 у1 1,0235 x2 .

В результате получили систему одновременных уравнений:

y1 0,3134 ( y2 x1 ),

у2 2,5306 y1 1,0235 x2 .

Задачи:

1. Необходимо построить функцию потребления, используя простейшую модель Кейнса формирования доходов:

66

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Пусть для этого у нас имеются следующие данные (в условных денежных единицах) за 1990 – 1999 г.г., полученные в одной из стран:

Требуется:

А) Провести идентификацию модели.

Б) Записать приведённую форму модели.

В) Определить метод оценки параметров модели и рассчитать неизвестные параметры.

2. Пусть теперь необходимо построить функцию потребления, используя следующую модель Кейнса формирования доходов:

67

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Требуется:

А) Провести идентификацию модели.

Б) Записать приведённую форму модели.

В) Определить метод оценки параметров модели и рассчитать неиз-

вестные параметры.

3. Пусть имеются условные данные, представленные в таблице:

Определите параметры структурной модели следующего вида:

Y1 A01 b12Y2 1 ,

Y2 A02 b21Y1 a21 X1 2 ,

Y3 Y2 X 2 .

Контрольные задания (домашняя контрольная работа):

Строится структурная модель следующего вида:

Y1 b12Y2 a11 X1 a12 X 2 1 ,

Y2 b21Y1 a22 X 2 a23 X 3 2 ,

Y3 b31Y1 a33 X 3 3 .

68

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Пусть имеются условные данные, представленные в таблице (где k1 –

Необходимо:

А) Провести идентификацию модели.

Б) Записать приведённую форму модели.

В) Определить метод оценки параметров модели и рассчитать неизвестные параметры.

Семинары 14-15. Временные ряды в эконометрических исследованиях

Решение типовых задач:

Пример 1. В таблице приведены данные за 10 лет о расходах на конечное потребление y (у.е.).

69

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Требуется:

А) Охарактеризовать структуру ряда, используя графическое изображение;

Б) Рассчитать коэффициенты автокорреляции уровней ряда до 4-го порядка.

В) При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы выявить структуру ряда.

Решение:

А) построим график зависимости уровней временного ряда от времени. Будем использовать для этого Мастер диаграмм.

Замечание. В окне Мастера диаграмм Тип выберите Точечная, рядом со списком типов выберите второй вид графика.

Получим следующий результат:

Вывод: Анализ графика показывает наличие положительной линейной тенденции (линейного тренда) и отсутствие сезонных колебаний.

Б) При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Количественно автокорреляцию уровней временного ряда можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Вычислим коэффициенты автокорреляции первого, второго, третьего и четвёртого порядков.

Для этого в MS Excel используем встроенную функцию КОРРЕЛ:

1. Выделите пустую ячейку, в которую будет выведено значение коэффициента автокорреляции первого порядка.

70