5.9.2. Общая, факторная и остаточная дисперсии

Исправленные общая, факторная и остаточная дисперсии получаются в результате деления сумм квадратов отклонений на соответствующие числа степеней свободы

,, (5.9)

где k – число уровней фактора,m – число измерений на каждом уровне фактора.

Число степеней свободы k(m-1) остаточной дисперсии равно разности между числами степеней свободы общей и факторной дисперсий: (mk-1) – (k – 1) =k(m-1).

5.9.3. Расчетная схема дисперсионного анализа

Пусть фактор существенно влияет на признак X. В этом случае групповые средниеизмеренных значений признакаX должны различаться значимо. Поэтому расчетная схема дисперсионного анализа состоит в проверке при заданном уровне значимости нулевой гипотезы о равенстве групповых средних. При этом предполагается, что значения признака

X , соответствующие разным уровням фактора (т.е. попадающие в разные группы), распределены нормально и имеют одинаковые (неизвестные) дисперсии.

Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких групповых средних является правильной. В этом случае факторная и остаточная дисперсии будут различаться незначимо. Сравнение этих дисперсий по критерию Фишера-Снедекора покажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять. Таким образом, если нулевая гипотеза о равенстве групповых средних верна (это означает, что фактор несущественно влияет на признак X), то верна и нулевая гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних не верна. В этом случае из-за того, что различие между групповыми средними существенно, факторная дисперсия и наблюдаемое значение F_набл=/критерия Фишера-Снедекора будут велики. В результатеF_набл окажется большеF_кри нулевая гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий должна быть отвергнута. Таким образом, если нулевая гипотеза о равенстве групповых средних является ложной (это означает, что фактор существенно влияет на признакX), то ложной будет и нулевая гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Справедливы и обратные утверждения, на которых и основана расчетная схема дисперсионного анализа:

1. Если нулевая гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий верна, то верна и нулевая гипотеза о равенстве групповых средних (это означает, что фактор несущественно влияет на признак X ).

2. Если нулевая гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий неверна, то неверна и нулевая гипотеза о равенстве групповых средних (это означает, что разброс групповых средних велик и фактор существенно влияет на признак X ).

Если установлено, что фактор существенно влияет на признак, и далее требуется выяснить, какой уровень фактора оказывает наибольшее воздействие, то производят попарное сравнение групповых средних с помощью критерия Стьюдента.

Вопросы и задачи

1. Дайте определение понятия “статистический критерий”? Что такое наблюдаемое значение статистического критерия?

2. Дайте определения понятий: “критическая область”, “область принятия гипотезы” , “критическая точка”.

3. Сформулируйте основной принцип проверки статистических гипотез.

4. Из нормальных генеральных совокупностей X и Y извлечены независимые выборки объемовn= 45 иn= 50 соответственно. По этим выборкам найдены выборочные средние= 16,1 и= 14,4 , а также исправленные выборочные дисперсииs²(X) = 5,71 иs²(Y) = 4,87. При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезуН₀ :M(X) =M(Y) о равенстве математических ожиданий признаковX и Y при конкурирующих гипотезах:

а) Н₁ :M(X) ≠M(Y) ; б)Н₁ :M(X) >M(Y) ; с)Н₁ :M(X) <M(Y) .

5. Из нормальной генеральной совокупности Xизвлечена выборка объемаn= 40 и найдены выборочная средняя= 3,9 и исправленное среднее квадратичное отклонение

s = 0,81. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезуН₀ :M(X) = 3,1 , о равенстве математического ожидания признакаX гипотетическому значению 3,1 , если противоречащая гипотезаН₁ :M(X) ≠ 3,1 .

6. Из нормальных генеральных совокупностей X и Y извлечены независимые выборки объемовn= 25 иn= 20 соответственно. По этим выборкам найдены исправленные выборочные дисперсииs²(X) = 4,8 иs²(Y) = 4,1. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезуН₀ :D(X) =D(Y) о равенстве о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезеН₁ :D(X) >D(Y).

7. Проверить гипотезу о нормальности распределения значений признака в генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

эмпирические частоты 4 6 13 31 42 41 29 18 7 3

теоретические частоты 3 7 12 29 47 39 33 18 8 4.

8. С помощью однофакторного дисперсионного анализа установить, существенно ли влияет крутизна склона (фактор А) на содержание некоторого микроэлемента в почве. Исследования проведены для трех уровней фактора: а₁ = 5˚ (первый уровень),а₂ = 10˚ (второй уровень),а₃ = 15˚ (третий уровень). Для каждого уровня фактора проведено четыре измерения содержания микроэлемента:

x_i1 3,43,5 3,7 3,6 ;x_i2 3,2 3,3 3,2 3,5 ;x_i3 3,1 3,0 3,2 3,2 .

85