5.7. Проверка гипотез о соотношении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Пусть из нормально распределенных генеральных совокупностей X иY извлечены независимые выборки объемовn1 иn2 . По этим выборкам вычислены исправленные выборочные дисперсииs2(X) иs2(Y) . Требуется по имеющимся выборочным данным, при выбранном уровне значимости α , проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что генеральные дисперсииD(X) иD(Y) изучаемых совокупностей равны между собой:
H0 : D(X) = D(Y) .
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий D(X) иD(Y) берут случайную величину
F =
,
равную отношению большей из исправленных дисперсий к меньшей. Случайная величина F(при условии справедливости нулевой гипотезы) имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободыk1 =n1 – 1 иk2 =n2 – 1 , гдеn1 – объем той выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия,n2 – объем выборки, по которой вычислена меньшая дисперсия.
Построение критической области при проверке нулевой гипотезы производится по-разному в зависимости от вида противоречащей гипотезы.
1. Нулевая гипотеза H0:D(X) =D(Y) , противоречащая гипотезаH1:D(X) >D(Y) .
В этом случае критическая область является правосторонней и определяется неравенством: F>Fкр. Критическую точкуFкр находят по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (Приложения 7.1 – 7.4) по выбранному уровню значимости α и числам степеней свободыk1=n1 – 1 иk2=n2 – 1. По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия
Fн =
.
Если Fн<Fкр , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если Fн>Fкр , то нулевую гипотезу отвергают.
Пример 5.5. Из нормальной генеральной совокупностиX извлечена выборка объемаn1 = 11 и независимо от нее из нормальной генеральной совокупности Y извлечена выборка объемаn2 = 16 . По этим выборкам найдены исправленные выборочные дисперсииs2(X) = 9,61 иs2(Y) = 7,86 . Требуется при уровне значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезуH0:D(X) =D(Y) при противоречащей гипотезеH1:D(X) >D(Y) .
Решение. Наблюдаемое значение критерия, равное отношению большей исправленной дисперсии к меньшей, равно
Fн =
=
=
1,22 .
Критическая область – правосторонняя. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (Приложение 7.2), по заданному уровню значимости α = 0,01 и числам степеней свободы k1= (n1 – 1) = (11 – 1) = 10 иk2= (n2 – 1) = 16 – 1 = 15 находим критическую точку, которая оказывается равнойFкр = 3,8 .
Так как Fн <Fкр , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.
2. Нулевая гипотеза H0:D(X) =D(Y) , противоречащая гипотезаH1:D(X) ≠D(Y) . Пусть нулевая гипотеза должна быть проверена при заданном уровне значимости α .
В этом случае критическая область является симметричной двусторонней, и из-за этой симметрии проверку гипотезы H0 принято проводить по факту попадания или непопаданияFн только в правую половину критической области. Критическую точкуFкр для правой половины критической области находят по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости α / 2 (вдвое меньшим заданного уровня) и числам степеней свободыk1=n1 – 1 иk2=n2 – 1. По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия
Fн =
.
Если Fн<Fкр , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если Fн>Fкр , то нулевую гипотезу отвергают.