3.1.3. Методика перехода от заданных дифференциальных уравнений к системе уравнений Шеннона

При рассмотрении данного вопроса необходимо выделить два возможных случая:

- когда система дифференциальных уравнений может быть приведена к нормальной форме;

- когда исходная система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальной форме.

Пусть все функции, входящие в заданное дифференциальное уравнение, негипертрансцедентны.

Рассмотрим первый случай, когда исходная система обыкновенных дифференциальных уравнений приводится к нормальной форме:

(3.30)

Тогда переход к системе Шеннона осуществляется следующим образом. Введем обозначение

(3.31)

В этом случае самая общая система обыкновенных дифференциальных уравнений

(3.32)

запишется в следующем виде:

(3.33)

Для перехода к системе уравнений Шеннона от системы дифференциальных уравнений (3.33) достаточно перейти от функции (k = 1,2,3, …, l) к порождающим уравнениям Шеннона. Этот переход описан в предыдущем параграфе. Затем необходимо объединить полученные уравнения с уравнениями

.

В результате будет получена общая система уравнений Шеннона, эквивалентная исходной системе дифференциальных уравнений (3.30).

Начальные значения, необходимые для решения системы дифференциальных уравнений, определяются исходя иззаданных начальных условий . Для переменныхy_l+k начальные значения определяются из соотношений (3.31), а для вновь полученных переменных, введенных в рассмотрение при переходе от функций (3.32) к уравнениям Шеннона (3.19), начальные значения определяются с помощью выражений (3.21).

В случае, когда система дифференциальных уравнений не приводится к нормальной форме, переход к уравнениям Шеннона усложняется.

Пусть нам задана произвольная система дифференциальных уравнений

(**)

К

(3.34)

ак всегда при переходе к эквивалентной системе уравнений Шеннона от системы (3.34) введем ряд обозначений:

.

Если подставить новые обозначения в систему (3.34), то она примет вид

(3.35)

,

В системе (3.35) функции f - неявные функции по отношению к переменным . Иначе их можно записать таким образом:

(3.36)

.

Используя выражение (3.36), можно записать систему уравнений, которая эквивалентна исходной системе (3.34):

(3.37)

Для перехода от системы уравнений (3.37) к эквивалентным уравнениям Шеннона необходимо перейти от неявных функций (3.36) к порождающим уравнениям Шеннона и объединить полученные уравнения с уравнениями системы (3.37):

(3.38)

.

Переход от неявных функций к порождающим уравнениям Шеннона был подробно описан в предыдущем параграфе.

Следовательно, для перехода от систем обыкновенных дифференциальных уравнений к эквивалентной системе уравнений Шеннона необходимо:

1. выделить функциональные зависимости и ввести новые переменные;

2. перейти от функциональных зависимостей к частичным системам уравнений Шеннона;

3. объединить полученные уравнения и уравнения (3.38) в общую систему уравнений Шеннона;

4. определить начальные значения всех переменных.

Пример 3. Переход от заданного дифференциального уравнения к системе уравнений Шеннона.

Пусть задано дифференциальное уравнение

(3.39)

.

Разрешим его относительно старшей производной

.

Несколько в ином виде это уравнение можно записать так:

.

Введем в рассмотрение новые переменные и получим

Продифференцируем новые переменные и получим

Тогда заданное уравнение можно представить

или

.

Затем будем последовательно вводить обозначения для элементарных функций и дифференцировать их.

Рассмотрим первую элементарную функцию

Обозначим тогда где

Следовательно, для функции у₄ получим систему уравнений Шеннона

(3.40)

Следующая элементарная функция

Следовательно, для заданного дифференциального уравнения получим систему уравнений Шеннона:

(3.41)

Если заданы начальные значения при t = 0 y₀, и, то рассчитать начальные условия для дополнительных переменных можно, пользуясь системой (3.42):

(3.42)

Имея систему уравнений Шеннона (3.41), эквивалентную заданному дифференциальному уравнению (3.39), и начальные значения всех переменных данной системы (3.42), можно решить исходное дифференциальное уравнение на ЦИМ.

Пример 4. Переход от системы дифференциальных уравнений к системе уравнений Шеннона.

Пусть задана система дифференциальных уравнений:

(3.43)

Представим исходную систему дифференциальных уравнений в виде

или

Введем обозначения для функций и их производных:

Как и в предыдущем примере, выразим производные

Тогда исходная система примет вид

Вводим дополнительные обозначения и дифференцируем новые функции.

Следовательно, общая система уравнений Шеннона, эквивалентная заданной системе дифференциальных уравнений, имеет следующий вид:

(3.44)

Определить ее начальные условия, если заданы начальные значения при f = 0.

(3.45)

После определения всех начальных условий система дифференциальных уравнений может быть решена на ЦИМ.