3.1.1.Представление исходной задачи в форме, удобной для реализации на цифровых интегрирующих машинах (цим)

ЦИМ предназначены для решения дифференциальных уравнений и их систем с начальными и граничными условиями, для вычисления сложных интегралов, решения линейных и нелинейных алгебраических уравнений, трансцендентных уравнений, для моделирования динамических систем и систем автоматического управления, для траекторных расчетов и решения ряда других задач. В основном большинство из перечисленных задач сводятся к решению эквивалентных дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

Решение данных задач в ЦИМ осуществляется приближенными методами численного интегрирования. Результаты решения получаются в виде числовых значений искомых величин через равные интервалы, определяемые машинной независимой переменной.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть сведены к нормальной форме:

(3.1)

Наиболее распространенными численными методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений являются методы Адамса и Рунге-Кутта [6], но они пригодны лишь для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, представленных в виде (3.1). Эти методы используют непосредственное вычисление функций на каждом шаге интегрирования, на что тратится значительная часть машинного времени решения.

Поэтому для представления исходной задачи для ЦИМ необходимо учесть, чтобы этот способ записи позволял избежать вычисления сложных функций.

Это становится возможным, если привести исходную систему дифференциальных уравнений не к нормальной форме (3.1), а к форме уравнений Шеннона [109].

В работах по математической теории дифференциального анализатора К.Шеннон показал, что любая система обыкновенных дифференциальных уравнений, не содержащая гипертрансцедентных функций или их суперпозиций, может быть приведена к виду

(3.2)

Данная форма представления системы обыкновенных дифференциальных уравнений удовлетворяет поставленным требованиям, так как содержит только операции суммирования и умножения и не имеет функциональных зависимостей. Это позволяет осуществить интегрирование системы Шеннона (3.2) с помощью решающих блоков только двух типов: сумматоров и интеграторов.

Представление системы дифференциальных уравнений в форме уравнений Шеннона удобно и потому, что переход от исходной системы к уравнениям Шеннона оказывается довольно простым и, как будет показано дальше, состоит в замене функций так называемыми порождающими дифференциальными уравнениями, которые необходимо присоединить к исходной системе дифференциальных уравнений.

Приведенный способ записи систем уравнений Шеннона (3.2) не является единственным, что в существенной степени влияет на структуру ЦИМ.

Наиболее удобна симметричная форма записи уравнений Шеннона, которая имеет вид [76]

(3.3)

где - постоянные коэффициенты, определяющие программу решения задачи.

Для выполнения условиядостаточно, чтобы удовлетворялись равенства для чего необходимо и достаточно выбрать

коэффициентыравными:

(3.4)

(3.5)

Симметричную систему уравнений Шеннона можно представить в матрично-векторной форме, для чего рассмотрим квадратные матрицы коэффициентов Ар и Aq, которые с учетом соотношений (3.4) и (3.5) имеют вид

(3.6)

(3.7)

Векторы интеграла, подынтегральной функции и переменной интегрирования записываются так:

(3.8)

Определим операцию преобразования вектора у_р в диагональную матрицу:

(3.9)

С учетом вышесказанного симметричную систему уравнений Шеннона можно записать в матрично-векторной форме:

(3.10)

Таким образом, решаемую задачу, если она представлена в форме системы уравнений Шеннона, полностью определяют две квадратные матрицы А_р и А_q, представляющие собой программу коммутации, и вектор начальных условий .

Следовательно, программирование решаемых на ЦИМ задач заключается в составлении матриц А_р и A_q, состоящих из 0 и 1, и подготовке начальных условий.