3.1.2. Методика перехода от заданных функций к системе уравнений Шеннона

Пусть задана негипертрансцедентная функция многих переменных:

(3.11)

;

;

,

представляющая собой суперпозицию более простых функций. Необходимо эту функцию представить в форме уравнений Шеннона.

Прежде всего, заданную функцию представим в виде элементарных функций:

(3.12)

Каждая из элементарных функций не поддается дальнейшему расчленению и упрощению на основе принципа суперпозиции.

После расчленения для каждой элементарной функции из системы (3.12) необходимо составить порождающую систему уравнений Шеннона. Общая система уравнений Шеннона для заданной функции (3.11) будет получена путем объединения систем уравнений, составленных для каждой из функций (3.12).

Рассмотрим метод перехода к порождающей системе уравнений Шеннона от некоторой негипертрансцедентной функции

(3.13)

.

Для этого продифференцируем функцию (3.13)

(3.14)

.

Введем обозначения

(3.15)

.

Отсюда, можно записать

(3.16)

.

Затем продифференцируем функции

(3.17)

и введем вновь обозначения

(3.18)

.

Тогда равенство (3.17) можно представить в виде

(*)

.

,

Если продолжить таким образом процесс дифференцирования и вводить каждый раз соответствующие обозначения для возникших при этом новых функций, то можно получить следующую систему дифференциальных уравнений:

(3.19)

Вэтой системе введены обозначения:

(3.20)

Так как заданная функция негипертрансцедентная, то эквивалентная ей система уравнений Шеннона конечна. А любая функция удовлетворяет конечной системе дифференциальных уравнений тогда, когда при ее последовательном дифференцировании высшие частные производные функции (3.20) или обращаются в 0, или содержат периодически повторяющиеся функции. Следовательно, система дифференциальных уравнений (*), определяющая функцию (3.13), – конечна. В то же время система уравнений (3.19) представляет собой симметричную систему дифференциальных уравнений Шеннона (3.3).

Для того, чтобы можно было решить на ЦИМ полученную систему дифференциальных уравнений (3.19), представляющую заданную функцию (3.13), необходимо определить начальные значения переменных Z, z_i, z_i,j, z_i,j,k,... (i = 1, 2, …, l; j = 1, 2, ... , l; k = 1, 2, …, l). Их определим из соотношений (3.21):

(3.21)

Таким образом, для того, чтобы перейти от заданной функции к порождающей системе уравнений Шеннона, необходимо выполнить следующие операции:

1. Расчленить исходную систему функций на более простые.

2. Последовательно дифференцировать каждую простую функцию до получения конечной системы уравнений Шеннона, вводя новые переменные.

3. Вычислить начальные значения всех зависимых переменных, входящих в систему (3.19).

Пример 1. Переход от заданной функции к системе уравнений Шеннона. Пусть задана функция двух переменных

(3.22)

.

Представим заданную функцию в виде двух элементарных функций, введя дополнительные обозначения. Пусть

Тогда исходная функция может быть записана в виде системы:

(3.23)

Для каждой элементарной функции составим порождающую систему Шеннона. Рассмотрим функцию

.

Продифференцируем данную функцию

Введем обозначение для новой переменнойотсюда а дифференциалdU можно представить так:

На этом процесс перехода от заданной элементарной функции к системе уравнений Шеннона может быть завершен, так как значение выражено

через исходную функциюU. Следовательно, для функции мы получим систему уравнений Шеннона в виде

Рассмотрим вторую элементарную функцию

Продифференцируем ее:

.

Следовательно, система уравнений Шеннона для данной функции представлена всего одним уравнением

.

П

.

родифференцируем также и исходное уравнение

Общую систему уравнений Шеннона мы получим, если объединим все системы уравнений для элементарных функций системы (3.23)

(3.24)

Рассмотренная система уравнений Шеннона легко может быть реализована на ЦИМ.

Начальные значения новых переменных довольно просто могут быть определены, если известны начальные значения исходных переменных

Тогда

Рассмотрим метод перехода к системе уравнений Шеннона в случае, когда задана неявная функция. Этот метод аналогичен методу перехода к уравнениям Шеннона от явных функций (3.13).

Пусть задана неявная негипертрансцедентная функция

(3.25)

.

Производя последовательное дифференцирование, придем к следующей системе уравнений Шеннона:

(3.26)

А переменные

в полученной системе определяются из выражений

(3.27)

(3.25)

С помощью соотношений (3.27) вычисляются начальные значения для системы уравнений (3.26).

Пример 2. Переход от заданной неявной функции к системе уравнений Шеннона. Пусть задана неявная функция

(3.28)

.

Как и в предыдущем примере, разобьем заданную функцию на элементарные, введя дополнительные обозначения:

.

Тогда

Осуществим переход от элементарных функций полученной системы уравнений к системе уравнений Шеннона по методике, подробно описанной в примере 1.

Введем новую переменную

Следовательно, в результате получим следующую систему порождающих уравнений Шеннона:

(3.29)

Эта система может быть довольно просто реализована на ЦИМ. Расчет данных также не может вызвать затруднения.